Az ABCD paralelogramma belsejében felvett $P$ ponton át húzzunk a paralelogramma oldalaival párhuzamos egyeneseket, és messék ezek a paralelogramma AB, BC, CD és DA oldalát rendre $Q$, $R$, $S$ és $T$ pontban. Tükrözzük $P$-t az ABCD paralelogramma középpontjára nézve, és jelöljük $P$ tükörképét $P$'-vel. Bizonyítsuk be, hogy a keletkezett APCP' paralelogramma területe egyenlő a PRBQ és PSDT paralelogrammák területének különbségével.

A megoldók egy része számítással igazolta az állítás helyességét. Bemutatunk egy ilyen megoldást. Legyen a $P$ pont távolsága az AB és CD oldaltól $m$, ill. $n$ (1. ábra). Az APCP' paralelogramma $t$ területét megkapjuk, ha az ABCD paralelogramma területéből elhagyjuk az ABCP' négyszögek területét.

Az utóbbi két terület egyenlő, mert az idomok egymás tükörképei az ABCD paralelogramma középpontjára nézve, így elegendő pl. az APCD négyszög területének kétszeresét levonni. Ezt a négyszöget az APT és PCS háromszögekre, továbbá a PSDT paralelogrammára bontva, azt kapjuk, hogy $t = AB \cdot  (m + n) - AQ \cdot  m - QB \cdot  n - 2AQ cdot n = (AQ + QB) (m + n) - AQ \cdot  m - QB \cdot  n -  2AQ \cdot  n = QB \cdot  m - AQ \cdot n$. Itt a kisebbítendő a PRBQ paralelogramma területét, a kivonandó pedig a PSDT paralelogrammáét adja. Ezzel igazoltuk a feladat állítását. Megjegyzés: Az ábrán $P$ az ACD háromszögben van. Ez esetben az APCD négyszög konkáv. Ha az ABC háromszögben levő $P$ pontból indulunk ki, akkor számításunk negatív jellel adja a kiszámítandó paralelogramma területét, annak megfelelően, hogy az említett négyszög ez esetben konvex, és tükörképével együtt kétszeresen fedi az APCP' paralelogrammát. Számítás nélkül, közvetlenül is belátható a feladatban szereplő területek egyenlősége. A következőkben erre mutatunk két utat.

2. Megoldás

Húzzunk $P'$ ponton át AB-vel és BC-vel párhuzamos egyenest, és messék ezek a BC-t ill. AB-t az $R'$ és $Q'$ pontban. Az APCP' paralelogrammát körülzáró két konkáv négyszög egyikét, pl. az AP'CB négyszöget vágjuk szét az AP'Q' és P'CR' háromszögre, valamint a P'R'BQ' paralelogrammára.

Fedjük le az AP'Q' háromszöggel az PCR háromszöget. (AP'Q' $\Delta $ = PCR $\Delta $, mert AP'=PC és a két háromszög szögei egyenlők.) Továbbá a P'CR' háromszöggel lefedjük APQ háromszöget, a P'R'BQ' paralelogrammával pedig a PTDS paralelogrammát. Ezek után az ABCD paralelogrammából a két konkáv négyszöggel lefedetlen marad a PRBQ paralelogramma, kétszeresen fedett a PSDT paralelogramma. Ezért

3. Megoldás

Messe a TR egyenes az AC átlót a $P^{o}$ pontban. Húzzunk $P^{o}$ ponton át AD-vel párhuzamos egyenest, mely AB-t $Q^{o}$-ban, CD-t pedig $S^{o}$-ban metszi (4. ábra). Kimutatjuk, hogy az APCP' paralelogramma területe egyenlő a QQ$^{o}S^{o}S$ paralelogramma területével, és ugyanezzel egyenlő a PQBR és PSDT paralelogrammák területének a különbsége is. PP$^{o}C$ területe fele a PP$^{o}S^{o}S$ területének, mert PP$^{o}$ oldaluk és ehhez tartozó magasságuk megegyezik. Hasonló okból PP$^{o}A$ területe fele a PP$^{o}Q^{o}Q$ területének. Eszerint az APCP' területe, mely az APC területének kétszerese, valóban egyenlő a QQ$^{o}S^{o}S$ területével. Ismeretes továbbá, hogy $P^{o}S^{o}$DT ter. = $P^{o}Q^{o}$BR ter. De $P^{o}S^{o}$DT ter. = PSDT ter. + $P^{o}S^{o}$SP ter. és $P^{o}Q^{o}$BR ter. = PQBR ter. - $P^{o}$PQQ$^{o}$ ter. E három egyenlet alapján

és ezzel állításunk második részét is bebizonyítottuk. Ha (az ábrától eltérőleg) a $P$ pont az ABC háromszög belsejébe esik, akkor az előbbi gondolatmenettel arra jutunk, hogy

Megemlítjük, hogy egyes versenyzők a területeket szerkesztéssel négyzetekké alakították, és ezeket hasonlították össze. Területek szemlélettel vagy méréssel történő összehasonlítása nem tekinthető bizonyító erejűnek!