Vegyes feladatok: VF_000075
(Feladat azonosítója: VF_000075 )
Témakör: *Geometria (terület)

Adott az ABCD téglalap. Az $A$-ból, $B$-ből, $C$-ből, illetve $D$-ből induló AB, BC, CD, illetve DA félegyenesen rendre kijelöljük az $A_{1}$, $B_{1}$, $C_{1}$, illetve $D_{1}$ pontot úgy, hogy

$ \frac{AA_1 }{AB}=\frac{BB_1 }{BC}=\frac{CC_1 }{CD}=\frac{DD_1 }{DA}=k>0 $

teljesüljön. A $k$ szám milyen értékére lesz az $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ négyszög területe minimális?

Ha $k>1$, akkor az $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ négyszög tartalmazza az ABCD téglalapot, ha $ 0<k\le 1$, akkor pedig e téglalap tartalmazza az $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ négyszöget. Elég tehát ez utóbbi esetet megvizsgálnunk. Az $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ négyszög paralelogramma, hiszen $A_{1}$, $C_{1}$, illetve $B_{1}$, $D_{1}$ csúcspárjai a téglalap $O$ középpontjára szimmetrikusak (1. ábra). E paralelogramma területe akkor minimális, ha az $A_{1}$BB$_{1}$, $B_{1}$CC$_{1}$, $C_{1}$DD$_{1}$ és $D_{1}$AA$_{1}$ sarokháromszögek területösszege minimális. A feltételből adódóan

$ CC_1 =AA_1 =k\cdot AB, \quad A_1 B=C_1 D=\left( {1-k} \right)AB, $

$ DD_1 =BB_1 =k\cdot BC, \quad B_1 C=D_1 A=\left( {1-k} \right)BC. $

A sarokháromszögek területösszege:

$ T\left( k \right)=\left( {1-k} \right)\cdot AB\cdot k\cdot BC+k\cdot AB\cdot \left( {1-k} \right)\cdot BC=2\cdot AB\cdot BC\cdot k\left( {1-k} \right). $

Mivel $ 2\cdot AB\cdot BC$ konstans, ezért elég a

$ k\mapsto k\left( {1-k} \right) $

függvény maximumát megkeresnünk a $ 0\le k\le 1$ intervallumban. A számtani és mértani közép közötti ismert egyenlőséget alkalmazva:

$ k\left( {1-k} \right)\le \left( {\frac{k+\left( {1-k} \right)}{2}} \right)^2=\frac{1}{4}. $

Tehát $k\left( {1-k} \right)$ maximális, ha $k=1-k$azaz $k=1 2$. Ezek szerint az ABCD téglalap oldalfelező pontjai által alkotott négyszög (paralelogramma) a feltételeknek megfelelő legkisebb területű négyszög.

1. ábra

2. Megoldás

Vezessük be az $\overrightarrow {AB} ={\rm {\bf b}}$, $\overrightarrow {AD} ={\rm {\bf d}}$ vektorokat. A feltételből adódóan

$ \overrightarrow {AA_1 } =k{\rm {\bf b}}, \quad \overrightarrow {BB_1 } =k{\rm {\bf d}}, \quad \overrightarrow {CC_1 } =-k{\rm {\bf b}}, \quad \overrightarrow {DD_1 } =-k{\rm {\bf d}}. $

Ezekből

$ \overrightarrow {A_1 B_1 } =\overrightarrow {AB_1 } -\overrightarrow {AA_1 } =\overrightarrow {AB} +\overrightarrow {BB_1 } -\overrightarrow {AA_1 } ={\rm {\bf b}}+k{\rm {\bf d}}-k{\rm {\bf b}}=\left( {1-k} \right){\rm {\bf b}}+k{\rm {\bf d}}, $

$ \overrightarrow {A_1 D_1 } =\overrightarrow {AD_1 } -\overrightarrow {AA_1 } =\left( {1-k} \right){\rm {\bf d}}-k{\rm {\bf b}}. $

Az $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ paralelogramma területe tehát, felhasználva a vektoriális szorzat alternáló és disztributív voltát:

$ T\left( k \right)=\left| {\overrightarrow {A_1 B_1 } \times \overrightarrow {A_1 D_1 } } \right|=\left| {\left( {\left( {1-k} \right){\rm {\bf b}}+k{\rm {\bf d}}} \right)\times \left( {\left( {1-k} \right){\rm {\bf d}}-k{\rm {\bf b}}} \right)} \right|=\left| {\left( {\left( {1-k} \right)^2+k^2} \right){\rm {\bf b}}\times {\rm {\bf d}}} \right|= $

$ =\left| {1-2k+2k^2} \right|\left| {{\rm {\bf b}}\times {\rm {\bf d}}} \right|. $

Mivel $\left| {{\rm {\bf b}}\times {\rm {\bf d}}} \right|$ téglalapunk területét adja, ezért $T(k)$ minimális, ha a $k\mapsto 2k^2-2k+1$ függvény minimális. De

$ 2k^2-2k+1=2\left( {k^2-k+\frac{1}{4}} \right)-\frac{1}{2}+1=2\left( {k-\frac{1}{2}} \right)^2+\frac{1}{2}\ge 0. $

A jobb oldali összeg első tagja nem negatív, második tagja pozitív állandó, így az összeg csakis akkor minimális, ha első tagja 0, azaz $k=1 2$, és ekkor az $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ négyszög (paralelogramma) területe fele a téglalap területének.