Az ABCD négyszög belsejében úgy helyezkedik el a $P$ pont, hogy az ABPD négyszög paralelogramma Igazoljuk, hogy ha $CDP\angle =PBC\angle $, akkor $DCP\angle =ACB\angle $!

A paralelogramma BP, illetve DP oldalegyenesének a DC, illetve BC oldalakkal való közös pontja legyen $L$, illetve $K$ (1. ábra). A DPL és BPK háromszögek hasonlók, mivel 2--2 megfelelő szögük egyenlő. (A feltétel szerint $LDP\angle =PBK\angle $, a közös $P$ csúcsnál levő szögeik pedig csúcsszögek.) A hasonlóságból adódóan

Az ABPD paralelogramma, így $AB=DP=b$, $AD=BP=a$, tehát fentiből

Az ABCD és a PKCL négyszögek megfelelő szögei megegyeznek, hiszen egyállásúak, és 2--2 megfelelő szomszédos oldaluk aránya egyenlő. Ez elegendő feltétele a két négyszög hasonlóságának. Ebből pedig az következik, hogy a megfelelő átlók a megfelelő oldalakkal ugyanakkora szöget zárnak be, vagyis

Megjegyzés: A feladat feltétele miatt az ABCD négyszög $B$, illetve $D$ csúcsánál levő szögei egyenlők. Kérdés azonban, hogy van-e az ilyen négyszög belsejében olyan $P$ pont, amelyre az ABPD négyszög paralelogramma. Belátjuk, hogy egy ABCD négyszög akkor és csak akkor konvex, ha van olyan $P$ pontja, amely a négyszög három csúcsával egy paralelogramma csúcsait adja. Először lássuk be a feltétel szükségességét! Tegyük fel -- az általánosság megszorítása nélül --, hogy a négyszög $P$ pontja az $A$, $B$, $D$ csúcsokkal paralelogrammát ad (2. ábra). A paralelogramma BD átlója elválasztja egymástól az $A$ és $P$ pontokat, de $P$ a négyszögnek pontja, ezért egyrészt a $C$ csúcsnak a $P$-t tartalmazó félsík belső pontjának kell lennie, másrészt pedig a BPD csúcsszögtartományához is hozzá kell tartoznia (különben $P$ nem pontja a négyszögnek). Az ABCD négyszög tehát konvex, mert minden szöge konvex.

A feltétel elégséges is, mert ha az ABCD négyszög konvex, úgy tekintsük a szemközti oldalpárokból azokat az oldalakat, amelyeken fekvő szöge legalább 180\r{ }. Ilyen mindkét oldalpár esetén van, hiszen a négyszög szögösszege 360\r{ }. A kiválasztott szomszédos két oldal a négyszög által tartalmazott paralelogrammává kiegészíthető, mert egy oldal egyik végpontjából induló, a másik végpontra illeszkedő oldallal párhuzamos kezdő szakasza akkor és csak akkor halad a négyszögben, ha a kiszemelt oldalon fekvő szögek összege 180\r{ }-nál nem kisebb.