Vegyes feladatok: VF_000152
(Feladat azonosítója: VF_000152 )
Témakör: *Geometria (terület)

Adott az ABC háromszög síkjában a háromszög oldalegyeneseire nem illeszkedő $O$ pont. Húzzunk az $O$ ponton át a háromszög oldalaival párhuzamosan egyeneseket, ezek a háromszög másik két oldalegyenesét egy-egy pontban metszik! Az $O$ pont és az egy-egy oldalegyenesen fekvő 2 metszéspont három háromszöget határoz meg. Fejezzük ki az ABC háromszög területét ezeknek a háromszögeknek a területével!


 

A három oldalegyenes a síkot hét részre vágja. Az $O$ pont ezek valamelyikének belső pontja. Három, lényegesen különböző eset lehetséges ( lásd az 1. ábrát). I. $O$ az ABC háromszög belső pontja. A szögek egyenlősége miatt

$ ABC\Delta \sim UVO\Delta \sim OPQ\Delta \sim SOR\Delta . $

Hasonló síkidomok területének aránya megfelelő szakaszaik négyzetének arányával egyenlő. Jelöljük a háromszögek területeit $T$-vel, $T_{1}$-vel, $T_{2}$-vel, $T_{3}$-mal, a ``kis'' háromszögek $a$-val párhuzamos oldalait $a_{1}$-gyel, $a_{2}$-vel, $a_{3}$-mal. Ekkor

$ \frac{a_1 }{a}=\frac{\sqrt {T_2 } }{\sqrt T }; \quad \frac{a_2 }{a}=\frac{\sqrt {T_2 } }{\sqrt T }; \quad \frac{a_3 }{a}=\frac{\sqrt {T_3 } }{\sqrt T }. $

Az OVBP és OQCR négyszögek paralelogrammák, így

$ a=a_1 +a_2 +a_3 . $

és alapján

$ 1=\frac{\sqrt {T_1 } +\sqrt {T_2 } +\sqrt {T_3 } }{\sqrt T }, $

tehát

$ \sqrt T =\sqrt {T_1 } +\sqrt {T_2 } +\sqrt {T_3 } . $

II. $O$ az 1. ábra II-vel jelölt tartományának belső pontja (2. ábra). Az ábra jelöléseit felhasználva az egyenletrendszer itt is fennáll. Az OVBP és OQCR négyszögek paralelogrammák, így

$ a=a_3 +a_2 -a_1 . $

Ezért

$ \sqrt T =\sqrt {T_3 } +\sqrt {T_2 } -\sqrt {T_1 } . $

III. $O$ az 1. ábra III-mal jelölt tartományának belső pontja (3. ábra). Az egyenletrendszer itt is fennáll. Felhasználva, hogy OVBP és OQCR paralelogrammák, itt

$ a=a_1 -a_2 -a_3 $

adódik. Ebből

$ \sqrt T =\sqrt {T_1 } -\sqrt {T_2 } -\sqrt {T_3 } . $

Tehát $O$ helyzetétől függően $\sqrt T =\sqrt {T_1 } +\sqrt {T_2 } +\sqrt {T_3 } $ vagy $\left\{ {\begin{array}{l} \sqrt T =\sqrt {T_2 } +\sqrt {T_3 } -\sqrt {T_1 } \\ \sqrt T =\sqrt {T_3 } +\sqrt {T_1 } -\sqrt {T_2 } \\ \sqrt T =\sqrt {T_1 } +\sqrt {T_2 } -\sqrt {T_3 } \\ \end{array}} \right.$

vagy $\left\{ {\begin{array}{l} \sqrt T =\sqrt {T_1 } -\sqrt {T_2 } -\sqrt {T_3 } \\ \sqrt T =\sqrt {T_2 } -\sqrt {T_3 } -\sqrt {T_1 } \\ \sqrt T =\sqrt {T_3 } -\sqrt {T_1 } -\sqrt {T_2 } \\ \end{array}} \right.$