Egy rácstéglalapot, amelyiknek oldalai párhuzamosak a koordinátatengelyekkel, $ 1 2$ területű rácsháromszögekre bontunk. Bizonyítandó, hogy a háromszögek között legalább kétszer annyi derékszögű van, mint a téglalap rövidebb oldalának a hossza. (Egy sokszög rácssokszög, ha valamennyi csúcsának mindkét koordinátája egész szám.)

A bizonyításhoz előrebocsátunk két észrevételt. 1. Egy rácsháromszög területének kétszerese, például a koordinátageometria területképletéből láthatóan, egész szám. Így az $ 1 2$ területű rácsháromszögek nem tartalmaznak rácspontot a belsejükben, de a csúcsaikon kívül a határukon sem -- azt fogjuk mondani, üresek -- hiszen különben fel lehetne bontani őket három, illetőleg két rácsháromszögre, s így kétszeres területük 1-nél nagyobb volna. 2. Az $ 1 2$ területű derékszögű rácsháromszögek befogóinak a hossza 1, és a befogók párhuzamosak a koordinátatengelyekkel, mert egyrészt a szorzatuk a háromszög kétszeres területét adja, másrészt két rácspont távolsága nagyobb mint 1, kivéve, ha egyik koordinátájuk megegyezik, a másik pedig 1-gyel különbözik. Ez azonnal következik a Pitagorasz-tételből. Ezek alapján először egyes háromszögeket kisebb kerületűvel helyettesítünk, ha lehetséges, de úgy, hogy fél négyzet ($ 1 2$ területű derékszögű rácsháromszög) ne keletkezzék. Ehhez azt vegyük észre, hogy ha két közös oldalú, üres rácsháromszög együtt konvex négyszöget alkot, akkor ez paralelogramma (1. ábra). Valóban, az ilyen négyszög területe $ 1 2+1 2=1$, mindkét átló két -- legalább, tehát pontosan -- $ 1 2$ területű rácsháromszögekre bontja, területét felezi, amiből következik, hogy az átlók felezik egymást, így a négyszög paralelogramma. Ha ennek az átlói egyenlők volnának, akkor a négyszög téglalap volna. Így az eredeti két háromszög, mivel területük $ 1 2$, fél négyzet. A fél négyzeteket azonban nem változtatjuk meg.

Nem változtatjuk meg azokat a háromszögeket sem, amelyekből a leírt módon két fél négyzet keletkeznék, vagyis a keletkező paralelogramma rövidebb átlója merőleges az egyik párhuzamos oldalpárra. Az ilyen paralelogramma keletkeztethető egy fél négyzetből úgy, hogy azt az egyik befogó középpontjára tükrözzük (2. ábra). Ekkor a hosszabb átló hossza $\sqrt 5 $. Nevezzük a továbbiakban az ilyen paralelogrammákat rövidnek.

Ha van a háromszögoldalak közt $\sqrt 5 $-nél hosszabb, akkor egy maximális hosszúságú oldalra támaszkodó két háromszögre alkalmazhatjuk a leírt eljárást, mert a háromszögekben ezen az oldalon hegyesszög van, mivel a legnagyobb szög a legnagyobb oldallal van szemben. Így a két háromszög együtt konvex négyszöget alkot. Miután az előforduló legnagyobb rácstávolságból indultunk ki, és a két átló nem egyenlő hosszú. Ezért a másik átló meghúzásával kisebb területű háromszögeket kapunk. Az eljárás véges sok lépésben befejeződik, mert az oldalhosszak négyzete pozitív egész szám, és nem nagyobb a téglalap átlójánál, továbbá mindegyik csak véges sokszor léphet fel. Elég tehát a feladat állítását olyan téglalapokra belátni, amelyek fél négyzetekre és rövid paralelogrammákra vannak felbontva.

Vegyük a téglalap egyik oldalának két szomszédos rácspont közti szakaszát és a felbontásnak azt a sokszögét, amelyiknek ez az egyik oldala. Ha ez háromszög, akkor megállunk, ha rövid paralelogramma, akkor ennek a tengellyel párhuzamos másik oldalára támaszkodó sokszöget vesszük. Az eljárást addig folytatjuk, amíg a háromszöghöz vagy a téglalapnak a kiindulási oldalával szemközti oldalához nem érünk. Az első esetben a háromszög egyik befogója a téglalap kiindulási oldalával párhuzamos, így a háromszögnek nem lehet közös oldala a téglalap párhuzamos oldalával. A második esetben a téglalapnak a kiindulási oldallal szomszédos oldalától indulva ki egy egységnyi szakaszból ugyanez az eset csak úgy léphetne fel, ha a két sokszögsorozatnak volna közös rövid paralelogrammája. Ez azonban nem lehetséges, mert az egyik és a másik sorozat rövid paralelogrammáinak a koordinátatengellyel párhuzamos oldala egymásra merőleges (3. ábra). A leírt eljárás tehát minden esetben legalább kétszer annyi derékszögű üres rácsháromszöget szolgáltat, mint a téglalap valamelyik oldalának a hossza. Ezzel a feladat állítását bebizonyítottuk.