Mutassuk meg, hogy ha egy téglalap oldalainak hossza $a$ és $a$+1, akkor $a$ téglalap szögfelezői által határolt síkidom területe független az $a$ értékétől.

Az $a$=1, a 0$<a<$ 1 és az $a>$ 1 esetekben rendre a következő ábrák adódnak:

Mindhárom esetben igaz, hogy a szomszédos szögek szögfelezői merőlegesek egymásra, továbbá a kapott négyszög a téglalap középvonalaira szimmetrikus, ezért a kapott síkidom négyzet. Mindegyik esetben FP=$\frac{a}{2}$, így a kapott négyzet átlója $a$+1-2$\cdot \quad \frac{a}{2}$=1 egység hosszú. Egy négyzet területe az átlóhossz négyzetének fele, ezért bármelyik esetben a négyzet területe $\frac{1}{2}$ területegység. A terület tehát valóban független az a oldalhossztól.

2. Megoldás

Tekintsük az ábrát:

A kapott négyszög négyzet, mert szögei derékszögek (a szögfelezés következtében), és átlóegyenesei a téglalap középvonalaira illeszkednek. A négyzet $x$ oldalának hossza egy $\frac{a+1}{2}$ és egy $\frac{a}{2}$ befogójú egyenlő szárú derékszögű háromszög átfogójának különbsége, tehát $x=\frac{a+1}{2}\sqrt 2 -\frac{a}{2}\sqrt 2 =\frac{\sqrt 2 }{2}$. A négyzet területe így (), ami valóban független az a paraméter értékétől. Megoldásunk alapján nyilvánvaló, hogy a kapott eredmény független attól, hogy a kapott négyzet hogyan helyezkedik el az eredeti téglalaphoz képest. Általánosítás. Induljunk ki egy tetszőleges $a$ és $b$ oldalú paralelogrammából, ahol például $a \quad < \quad b$. Azt vizsgáljuk, hogy a szögfelezők által határolt négyszög területe hogyan függ a paralelogramma adataitól. Legyen a paralelogramma kisebbik (nem nagyobbik) szöge 2$\alpha $ az ábrának megfelelően. Könnyen belátható, hogy a kapott négyszög téglalap. Jelölje a téglalap oldalait PQ = $y$ és QR = $x$.

Az ábra jelölései alapján a megfelelő derékszögű háromszögekben szögfüggvények alkalmazásával $x=b$cos$\alpha $ --acos$\alpha $ =(b--a)cos$\alpha $ és $y=b$sin $\alpha $ --asin$\alpha $ =(b--a)sin $\alpha $ adódik. A téglalap területe $xy=(b-a)^2\sin \alpha \cos \alpha =\frac{(b-a)^2\sin 2\alpha }{2}$. Ha $b=a$+1, akkor a területe $\frac{\sin 2\alpha }{2}$. Ha még $\alpha $ =45\r{ } is teljesül, akkor az eredeti feladat eredményének megfelelő $\frac{1}{2}$ területérték adódik.