Az $A_1 B_1 A_2 $, $B_1 A_2 B_2 $, $A_2 B_2 A_3 $, ... , $B_{13} A_{14} B_{14} $, $A_{14} B_{14} A_1 $, $B_{14} A_1 B_1 $ egymáshoz csatlakozó merev szabályos háromszöglapok, amelyek az $A_1 B_1 $, $B_1 A_2 $, {\ldots} , $A_{14} B_{14} $, $B_{14} A_1 $ élek mentén hajtogathatók. Elvégezhető-e a hajtogatás úgy, hogy a 28 háromszöglap egy síkban legyen?

Ha a feladatban leírt felület síkba hajtogatható, pl. az $A_1 A_2 B_1 $ háromszög síkjába, akkor a többi háromszög az ezt a háromszöget tartalmazó háromszögrács egy-egy háromszögét fogja fedni. Ha a hajtogatás sikerült, akkor vágjuk fel az összehajtogatott felületet az $A_1 B_1 $ él mentén és hajtogassunk tovább, amíg az összes többszörös fedést meg nem szüntetjük. Így egy paralelogrammához jutunk. Ez utóbbi hajtogatások a síknak a rács egy-egy egyenesére való tükrözésével valósíthatók meg. Rajzoljuk meg azt a két szabályos hatszöget, amelyiknek egyik oldala $A_1 B_1 $ és az ehhez csatlakozó hatszögrácsot a síkban (1. ábra). Figyeljük meg, hogy ez a hatszögrács bármelyik tükrözésnél önmagába megy át, tehát a kiterítés után az $A_1 B_1 $ él másodszori képe is hatszögoldalra, sőt párhuzamos hatszögoldalra kellene hogy kerüljön.

A sávba eső párhuzamos hatszögoldalak közt azonban 6-6 szabályos háromszög van, 28 pedig nem osztható 6-tal, tehát a keletkező felület nem lehet síkba hajtogatható.

2. Megoldás

Az egyes háromszögek $A_i A_{i+1} $, illetve $B_i B_{i+1} $ oldallal párhuzamos középvonalai zárt töröttvonalat alkotnak a térben. Síkba hajtogatva ezek továbbra is zárt töröttvonalat alkotnak, tehát mint vektoroknak - alkalmasan irányítva - az összegük a nulla-vektor. Két egymás utáni vektornak az iránya vagy megegyezik, vagy, ha a köztük levő él mentén hajtogatás történt, egyik vagy másik irányban $ 120^{\circ}$-ot zárnak be egymással (1. ábra).

A zárt töröttvonal egyes szakaszai tehát egymással $ 120^{\circ}$-ot bezáró és egyenlő hosszú a, b vagy c vektorral egyenlők. Legyen $r $az a vektorok száma, $s $a b-ké, $t$ a c-ké, akkor tudjuk, hogy

Az első két egyenletből pl. c-t kiküszöbölve és átrendezve az

egyenlethez jutunk. Mivel a és b nem párhuzamos, ez csak úgy lehet, hogy

s így

a harmadik egyenletből. Ez azonban nem lehet, mert $r$ egész szám. A felület tehát nem hajtogatható egy síkba.

3. Megoldás

Ha a feladatban szereplő felület síkba hajtogatható, akkor síkba kiterített hálója is (1. ábra) összehajtogatható úgy, hogy a két $A_1 $, illetve $B_1 $ pont egymásra kerüljön. A háló háromszögei minden hajtásnál a hálót tartalmazó háromszögrács egy-egy háromszögébe mennek át. Színezzük az $A_1 $, $B_1 $, $A_2 $ csúcsokat sorra pirosra, sárgára és kékre. Ekkor folytathatjuk a színezést a három színnel úgy, hogy az egész háló és az egész azt tartalmazó síksáv háromszögeinek a csúcsai különböző színűek legyenek. Valóban az $A_1 $, $A_2 $, ... pontok színe periodikusan ismétlődve piros, kék, sárga lesz, a $B_1 $, $B_2 $, ... pontoké pedig sárga, piros, kék. Ekkor az $A$-k és $B$-k egyenese közti sáv háromszögei megfelelően vannak színezve. Ezután tükrözve az $A$-k, illetve $B$-k egyenesére, majd sorra a keletkező újabb határvonalakra az egész háromszögrács összes csúcsainak olyan színezését kapjuk három színnel, amelynél minden háromszög csúcsai különböző színűek. Ha most a rács bármelyik egyenesére tükrözünk, minden csúcs ugyanolyan színű csúcsba megy át. Ahhoz tehát, hogy a kívánt hajtogatás lehetséges legyen, a két $A_1 $-gyel jelzett csúcsnak egyszínűnek kellene lennie, azonban az egyik piros, a másik sárga. A kívánt hajtogatás tehát nem lehetséges.

4. Megoldás

Vizsgáljuk az $A_1 B_1 A_2 B_2 A_3 ...A_{14} B_{14} A_1 $ zárt töröttvonalat. Ennek két-két szomszédos szakasza mindig egy háromszöglap két éle, tehát $ 60^{\circ}$-ot zár be. A felület háromszögei a sík egy szabályos háromszögrácsának a háromszögeibe kerülhetnek csak. Jelöljünk meg egy csúcsot, ahová $A_1 $ kerül. Ekkor $B_1 $ annak a szabályos hatszögnek egyik csúcsába kerül, amelyiknek a megjelölt csúcs a középpontja, $A_2 $ pedig valamelyik szomszédos csúcsába, mert a szomszédos szakaszok $ 60^{\circ}$-ot zárnak be. $B_2 $ ezután vagy újra a megjelölt csúcsba kerül, vagy annak a hatszög valamelyik oldalára vonatkozó tükörképébe. Jelöljük meg ezeket is. Az eljárás most már ismételhető. A következő két pont ismét egy megjelölt pont körüli szabályos hatszög két szomszédos csúcsába kerül, a harmadik vagy egy már megjelölt pontot fed le, vagy egy ilyennek a körülötte levő hatszög valamelyik oldalára vonatkozó tükörképébe jut. Jelöljük meg ezeket is. Ilyen módon minden harmadik szakasz végpontja kerül megjelölt pontba, tehát pl. a 27. szakasz végpontja. Ekkor azonban a 28. szakasz végpontja nem kerülhet $A_1 $-be. A kívánt hajtogatás tehát nem lehetséges.

Megjegyzések. 1. Láttuk, hogy ahhoz, hogy a keletkező felület síkba hajtogatható legyen, a háromszögek számának oszthatónak kell lennie 6-tal. Ez azonban még nem elegendő, hiszen például a 6 háromszögből álló felület egy oktaéder, amelyiknek két szemközti lapját eltávolítottuk, és ez merev a két lap eltávolítása után is.

Arra is gondolni kell, hogy a felületnek a feladatbeli leírása (most már 28 helyett 6$k$ darab háromszöggel, ahol $k$ legalább 2) nem egyértelmű, hiszen elkészítve a hálót, a két $A_1 B_1 $ él összeragasztása előtt még meg is csavarhatjuk,

akár többször is. Az ábra egy-egy síkba hajtogatott, 6$k$ háromszögből álló szalagot mutat és alatta - hajlékony anyagból képzelve el őket - térben is szemléltettük alakjukat. Az már kérdéses, hogy a síkbeli zárt karika 3-dimenziós felületté hajtogatható-e csak a megengedett élek menti hajtogatással. Az, hogy ez nem magától értetődő, látható abból is, hogy az oktaéder-felületnek megfelelő szalag is megvalósítható a síkban. A jobb elképzelés kedvéért két részben rajzoltuk meg a felületet. A 8. ábra két rombusza fölé kell hajtani a hozzájuk csatlakozó háromszöget, majd az I rombuszt a II-re helyezni, és az egyformán jelölt (és betűzött) éleket összeragasztani. Ha ez 3-dimenziós felületté volna hajtogatható a háromszögek hajlítása nélkül, akkor megfordítva, az oktaéder felület is síkba volna hajtogatható, de az, mint említettük, merev. Még meglepőbb eredményre jutunk, ha az I rombuszhoz csatlakozó háromszöget a rombusz alá hajtjuk, úgy helyezzük egymásra a két rombuszt és ragasztjuk össze az egymásnak megfelelő éleket. Így egy megcsavart szalagot kapunk síkba hajtogatva. Ennek megfelelő 3-dimenziós felület merev háromszögekből egyáltalán nem készíthető.

2. Téves az az állítás, hogy a 3$k$ háromszögből álló szalag is mindig síkba hajtogatható, ha $k\ge 2$. A feladat szövege páros számú háromszögre utal, így $k$ páratlan értékeit kizárja. Megtehetjük azonban, hogy pl. eggyel kevesebb $B$ pontot veszünk, mint $A$-t. Így már páratlan számú háromszög keletkezik. Ekkor azonban a 4. megoldásra gondolva az ott szereplő élsorozat kijelölt ponttól kijelölt pontig menő 3-3 éle egy $A$ pontból egy $B$ pontba vezet vagy fordítva. Ha tehát páratlan számú élhármasunk van, akkor az csak úgy zárulhat, ha $A_1 $-ből $B_1 $-be vezet. A szalagot tehát úgy kell zárnunk, hogy a kezdő $A_1 B_1 $ élet záró $B_1 A_1 $ éllel ragasztjuk össze. Ilyen módon ügynevezett MÖBIUS-szalagot kapunk, amelyiknek csak egy határvonala és egy oldala van. Ilyen síkba hajtogatott szalag $ 6k+3$ háromszögből mindig készíthető, ha $k\ge 1$ (sőt $k=0$ esetén is).