Budapesti Fazekas Mihály Gyakorló Általános Iskola és Gimnázium

FaceBook oldalunk

Látogatók

Mai629
Heti2364
Havi12177
Összes701950

IP: 54.224.111.99 Unknown - Unknown 2018. július 18. szerda, 16:42

Ki van itt?

Guests : 52 guests online Members : No members online

Honlapok

SULINET Matematika

Oktatási Hivatal

Versenyvizsga portál
banvv

Matematika Portálok

Berzsenyi Dániel Gimnázium

berzsenyi

Óbudai Árpád Gimnázium
arpad

 

Szent István Gimnázium

sztistvan

A gondolkodás öröme
gondolkodasorome

Keresés az Országos Középiskolai Matematikaverseny (OKTV) feladatbankjában

Találatok száma laponként:
Keresési szűrő: (összes találat)
 
Találatok száma: 257 ( listázott találatok: 1 ... 30 )

1. találat: OKTV 2010/2011 I. kategória 1. forduló 1. feladat ( OKTV_20102011_1k1f1f )
Témakör: *Algebra

Az $ x $ valós számra teljesül, hogy

$ 16^ {\sin^2 x} + 16^{\cos^2 x} = 10 $

Határozza meg $ \sin x $ értékét!



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
2. találat: OKTV 2010/2011 I. kategória 1. forduló 2. feladat ( OKTV_20102011_1k1f2f )
Témakör: *Algebra

A valós számok halmazán egy új műveletet definiálunk. Bármely $ a ;  b $ valós számpárra legyen $ a \triangle b = 2a + 3b $ . Milyen feltételeknek kell teljesülnie az $ a; b; c $ valós számhármas tagjaira, ha fennáll, hogy

$ a \triangle ( b \triangle c ) = ( a \triangle b ) \triangle c $ ?

 



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
3. találat: OKTV 2010/2011 I. kategória 1. forduló 3. feladat ( OKTV_20102011_1k1f3f )
Témakör: *Algebra (geometria)

Egy derékszögű háromszög oldalhosszainak összege 84 , az oldalak hosszának négyzetösszege 2738 . Határozza meg a beírt kör sugarának hosszát!



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
4. találat: OKTV 2010/2011 I. kategória 1. forduló 4. feladat ( OKTV_20102011_1k1f4f )
Témakör: *Számelmélet

Mely pozitív $ p $ prímszámokra teljesül, hogy

$ 360\text{ osztója a }p^4  − 5 p^ 2 + 4 $

kifejezésnek?



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
5. találat: OKTV 2010/2011 I. kategória 1. forduló 5. feladat ( OKTV_20102011_1k1f5f )
Témakör: *Számelmélet

Határozza meg az $ a $ számjegyet úgy, hogy a tízes számrendszerbeli $ N = \underbrace{999 ... 9}_{100}\ a\ \underbrace{000 ... 0}_{100}\ 9 $ alakú szám egy egész szám négyzete legyen!



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
6. találat: OKTV 2010/2011 I. kategória 1. forduló 6. feladat ( oktv_20102011_1k1f6f )
Témakör: *Számelmélet

Igazolja, hogy ha valamely háromszög területe $ \dfrac{1} 2 $ területegység, akkor kerülete $ 3 $ hosszúságegységnél nagyobb!



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
7. találat: OKTV 2010/2011 I. kategória II. forduló 1. feladat ( OKTV_20102011_1k2f1f )
Témakör: *Algebra

Öt pozitív egész szám egy számtani sorozat első öt eleme. A sorozatnak a különbsége prímszám. Tudjuk, hogy az első négy szám köbének összege megegyezik az ezen öt tag közül vett páros sorszámú tagok összegének 150-szeresével. Továbbá azt is tudjuk, hogy az utolsó négy tag köbének összege az öt tag közül vett páratlan sorszámú tagok összegének a 224-szerese. Adja meg ezt az öt számot!



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
8. találat: OKTV 2010/2011 I. kategória II. forduló 2. feladat ( OKTV_20102011_1k2f2f )
Témakör: *Algebra

Adott egy kör, amelynek egyenlete $ x^2 + y^2 -10 x - 10 y + 45 = 0 $ .

a) Bizonyítsa be, hogy a kör minden pontja az első koordináta-negyedbe esik!

b) Legyenek a körön levő $ P $ pontok koordinátái $ x $ és $ y $ . Képezzük a $ P $ pontok koordinátáiból a $ k =\dfrac{x}{y} $ hányadosokat! Mennyi $ k $ maximuma és a kör melyik pontjában veszi ezt föl?



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
9. találat: OKTV 2010/2011 I. kategória II. forduló 3. feladat ( OKTV_20102011_1k2f3f )
Témakör: *Algebra

Oldja meghalmazán! akövetkező egyenletrendszert2

$ \begin{cases} x + 3 y + \left| x + y - 2 \right| = 5 \\  x^2 + 4 xy + 4 y^2 = 5 x + 11 y - 7 \end{cases} $

a valós számpárok



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
10. találat: OKTV 2010/2011 I. kategória II. forduló 4. feladat ( OKTV_20102011_1k2f4f )
Témakör: *Geometria

Adottak a $ k_1 $ ; $ k_2 $ ; $ k_3 $ egymást páronként kívülről érintő körök. Az érintési pontjaik legyenek: $ P = k_1 \cap k_3 $ , $ Q = k_1 \cap k_2 $ és $ R = k_2 \cap k_3 $ . A $ PQ $ egyenes $ k_2 $ körrel való másik metszéspontja $ A $ és $ k_3 $ -mal $ C $ . Az $ AR $ egyenes a $ k_3 $ kört $ B $ -ben is metszi. Bizonyítsa be, hogy az $ ABC $ háromszög derékszögű!



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
11. találat: OKTV 2010/2011 I. kategória II. forduló 5. feladat ( OKTV_20102011_1k2f5f )
Témakör: *Algebra

Igazolja, hogy ha $ a > 0 $ , $ b > 0 $ valós számok és $ a \ne b $ , akkor:

a) $ \dfrac 1 a + \dfrac 1n > \dfrac 4 {a+b} $

b) továbbá, hogy az   $ \dfrac 1 {1802}+\dfrac 1 {1803}+\ldots \dfrac 1 {2010} > \dfrac 1 {10} $ egyenlőtlenség teljesül!



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
12. találat: OKTV 2010/2011 I. kategória döntő 1. feladat ( OKTV_20102011_1kdf1f )
Témakör: *Algebra

Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet!

$ \dfrac 1 {\sqrt{x}+\sqrt{x+1}} +\dfrac 1 {\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2}}+  \ldots + \dfrac 1 {\sqrt{x+2010}+\sqrt{x+2011}}=1 $

 



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
13. találat: OKTV 2010/2011 I. kategória döntő 2. feladat ( OKTV_20102011_1kdf2f )
Témakör: *Kombinatorika

Egy ládában almák vannak, amelyek közül néhány megromlott. Ha kiemelünk 11 hibás almát, akkor az eredetihez képest felére tudjuk csökkenteni annak a valószínűségét, hogy véletlenszerűen kivéve egy almát, a kivett alma hibás legyen. Hány jó alma lehetett a ládában?



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
14. találat: OKTV 2010/2011 I. kategória döntő 3. feladat ( OKTV_20102011_1kdf3f )
Témakör: *Geometria

Az $ ABCD $ konvex négyszög $ AC $ és $ BD $ átlóinak metszéspontja $ P $ . Legyen az $ APB $ , illetve $ CPD $ háromszögek területe $ T_1 $ , illetve $ T_3 $ ! Az $ ABCD $ négyszög $ T $ területére teljesül, hogy $ T = ( T_1 + T_3 )^2 $ . Igazolja, hogy az $ ABCD $ négyszög trapéz!



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
15. találat: OKTV 2010/2011 2. kategória 1. forduló 1. feladat ( OKTV_20102011_2k1f1f )
Témakör: *Algebra

Határozzuk meg az f (x) függvény legkisebb és legnagyobb értékét, ha $ −4 \le x \le 4 $ és

$ f(x)=16-x^2-6\sqrt{16-x^2} $



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
16. találat: OKTV 2010/2011 2. kategória 1. forduló 2. feladat ( OKTV_20102011_2k1f2f )
Témakör: *Számelmélet

Keressük meg mindazon pozitı́v egész $ a $ és $ b $ számokat, amelyekre az alábbi négy állı́tás közül három igaz, egy pedig hamis:

i) $ a + 1 $ osztható $ b $ -vel;

ii) $ a = 2b + 5 $ ;

iii) $ a + b $ osztható 3-mal;

iv) $ a + 7b $ prı́mszám.



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
17. találat: OKTV 2010/2011 2. kategória 1. forduló 3. feladat ( OKTV_20102011_2k1f3f )
Témakör: *Algebra

Oldjuk meg a természetes számok körében:

$ 3^ {2x-1}= x^ {9-2x}-5 $



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
18. találat: OKTV 2010/2011 2. kategória 1. forduló 4. feladat ( OKTV_20102011_2k1f4f )
Témakör: *Geometria

Adott a sı́kon egy $ O $ pont és a belőle induló két félegyenes, melyek hegyesszöget zárnak be. A sı́k egy $ P $ pontjának a félegyenesekre eső merőleges vetületei a félegyenesek belsejébe eső $ P_1 $ és $ P_2 $ pontok. Határozzuk meg azon $ P $ pontok halmazát (mértani helyét), amelyekre $ P_1 P_2 $ szakasz hossza állandó.



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
19. találat: OKTV 2010/2011 2. kategória 1. forduló 5. feladat ( OKTV_20102011_2k1f5f )
Témakör: *Kombinatorika

Egy urnában 3 piros, 4 fehér és 5 zöld golyó van. Visszatevés nélkül kivesszük egyesével mindet. Mennyi a valószı́nűsége, hogy legalább két fehéret húzunk egymás után?



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
20. találat: OKTV 2010/2011 2. kategória II. forduló 1. feladat ( OKTV_20102011_2k2f1f )
Témakör: *Kombinatorika

Egy tetraéder éleire valós számokat ı́rtunk úgy, hogy a kitérő élekre ı́rt számok összege ugyanannyi legyen. Ezután minden csúcshoz hozzárendeltük az oda befutó élekre ı́rt számok összegét. Ezek az összegek valamilyen sorrendben az $ a, b, c $ , és $ d $ számok, amelyekre $ a = b = 2c = 2d $ teljesül. Bizonyı́tsuk be, hogy az élekre ı́rt számok között a 0 szám is előfordul.



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
21. találat: OKTV 2010/2011 2. kategória II. forduló 2. feladat ( OKTV_20102011_2k2f2f )
Témakör: *Algebra

Tekintsük az $ y = x^{2} $ parabolát. Keressük meg az összes olyan egész meredekségű egyenest, ami áthalad a $ P (0; 4) $ ponton és a parabolába eső szakasza egész hosszúságú.



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
22. találat: OKTV 2010/2011 2. kategória II. forduló 3. feladat ( OKTV_20102011_2k2f3f )
Témakör: *Számelmélet

Keressük meg a 2011-nél nagyobb egészek közt a legkisebb olyan S számot, amelyet elosztva a 3, 4, 5, 6, 7 és 8 számokkal, maradékul kétszer kapjuk az 1, 2, 3 számok mindegyikét.



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
23. találat: OKTV 2010/2011 2. kategória II. forduló 4. feladat ( OKTV_20102011_2k2f4f )
Témakör: *Geometria

Igazoljuk, hogy a t területű $ ABCD $ konvex négyszög akkor és csak akkor téglalap, ha

$ (AB + CD)(DA + BC) = 4t. $

 



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
24. találat: OKTV 2010/2011 2. kategória döntő 1. feladat ( OKTV_20102011_2kdf1f )
Témakör: *Algebra

Legyen $ f_1 (x) = -\dfrac{2x+7}{x+3} $ és $ f_{n+1} (x) = f_1 (f_n (x)) $ , ha $ x \ne −3 $ és $ x \ne −2 $ . Határozzuk  meg $ f_{2010} (2011) $ értékét.



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
25. találat: OKTV 2010/2011 2. kategória döntő 2. feladat ( OKTV_20102011_2kdf2f )
Témakör: *Kombinatorika

Jelölje az $ \{1, 2, ..., n\} $ halmaz azon részhalmazainak számát $ r _{n} $ , amely nem tartalmaz szomszédos számokat, ahol az $ 1 $ -et és az $ n $ -et is szomszédosnak tekintjük. Határozzuk meg $ r_{16} $ értékét. Igazoljuk, hogy az $ {r_{n} } $ sorozat hármas maradékai periódikusan ismétlődnek, ha $ n \ge 2 $ és határozzuk meg a sorozat periódusát.



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
26. találat: OKTV 2010/2011 2. kategória döntő 3. feladat ( OKTV_20102011_2kdf3f )
Témakör: *Geometria

Az $ ABC $ háromszög köré írt körhöz $ A $ -ban és $ B $ -ben húzott érintők metszéspontja legyen $ D $ . Az $ ABD $ háromszög köré írt köre az $ AC $ egyenest és a $ BC $ szakaszt másodszor rendre az $ E $ és $ F $ pontokban metszi. Legyen $ CD $ és $ BE $ metszéspontja $ G $ . Határozzuk meg a $ BG : GE $ arányt, ha $ BC : BF = 2 : 1 $ .



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
27. találat: OKTV 2010/2011 3. kategória 1. forduló 1. feladat ( OKTV_20102011_3k1f1f )
Témakör: *Kombinatorika

Egy $ 2010 \times 2010 $ -es táblázat mezőibe úgy akarunk (nem feltétlenül különböző) egész számokat beírni, hogy minden sorban és minden oszlopban a számok összege különböző legyen (azaz 4020 különböző összeget kapjunk). Legkevesebb hányféle szám beírásával tudjuk ezt elérni?



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
28. találat: OKTV 2010/2011 3. kategória 1. forduló 2. feladat ( OKTV_20102011_3k1f2f )
Témakör: *Algebra

Legyen $ 0 < x_1 < x_2 < · · · < x_n < 1 $ . Igazolja, hogy

$ x_1(1-x_1)+(x_2-x_1)(1-x_2)+(x_3-x_2)(1-x_3)+\ldots+(x_n-x_{n-1})(1-x_n)<\dfrac 1 2 $

 



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
29. találat: OKTV 2010/2011 3. kategória 1. forduló 3. feladat ( OKTV_20102011_3k1f3f )
Témakör: *Számelmélet

Keresse meg az összes olyan $ p $ prímszámot, melyhez léteznek olyan $ a, b, c $ egész számok, hogy $ a^2 + b^2 + c^2 = p $ és $ (a^4 + b^4 + c^4) $ osztható $ p $ -vel.



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
30. találat: OKTV 2010/2011 3. kategória 1. forduló 4. feladat ( OKTV_20102011_3k1f4f )
Témakör: *Kombinatorika

Egy $ n $ -elemű $ H $ halmaznak kiválasztottuk néhány $ k $ -elemű részhalmazát $ (3 \le k \le n) $ úgy, hogy $ H $ bármely két elemét pontosan három darab, bármely három elemét pontosan két darab kiválasztott részhalmaz tartalmazza. Határozza meg $ n $ és $ k $ lehetséges értékeit.



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

QR kód

Budapesti Fazekas Mihály Gyakorló Általános Iskola és Gimnázium

QR

 

 

 

Bejelentkezés cikkíróknak


Joomla template: szsnjm3-001
(c) Szoldatics József (www.szolda.hu), Eszesen KFt. 2011/2016