Egy áruházban egy mosóport négyféle kiszerelésben árusítanak. Az első kiszerelés $ 50\% $-kal drágább a harmadiknál, és $ 20\% $-kal kevesebb mosópor van benne, mint a másodikban. A második $ 50\% $-kal több mosóport tartalmaz, mint a harmadik, és $ 25\% $-kal többe kerül, mint az első.

a) Az első három kiszerelés közül melyikben a legalacsonyabb a mosópor egységára?

A negyedik fajta kiszerelést úgy állították össze, hogy annak dobozán a feltüntetett egységár megegyezett az első három kiszerelés átlagos egységárával.

b) Ha a legolcsóbb kiszerelésű dobozon 600 Ft egységárat tüntettek fel, akkor hány forint egységár szerepel a negyedik fajta dobozon?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy $ 90\ m^2 $ területű, trapéz alakú virágágyás párhuzamos oldalainak aránya $ AB : DC = 3: 2 $ . Az ágyást tavasszal és ősszel is az évszaknak megfelelő virágokkal ültetik be. Mindkét alkalommal mindegyik fajta virágból átlagosan 50 virágtövet ültetnek négyzetméterenként. Tavasszal az átlókkal kijelölt négy háromszögre bontották a virágágyást. Az $ ABM $ háromszögbe sárga virágokat, a $ DMC $ háromszögbe fehéret, a maradék két részbe piros virágokat ültettek.

a) A tavaszi parkosításkor hány darab fehér, hány piros és hány sárga virágot ültettek be?

Ősszel a másik ábra alapján tervezték meg a virágok elhelyezését. (Az E, F, G és H pontok a trapéz oldalainak felezőpontjai.) Ekkor is fehér (f), piros (p) és sárga (s) virágokat ültettek a tervrajz alapján.

b) Az őszi parkosításkor hány darab fehér, hány piros és hány sárga virágot ültettek? Válaszait az alábbi táblázatban tüntesse fel!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Az $ A_1C_0C_1 $ derékszögű háromszögben az $ A_1 $ csúcsnál $ 30^\circ $-os szög van, az $ A_1C_0 $ befogó hossza 1, az $ A_1C_1 $ átfogó felezőpontja $ A_2 $. Az $ A_2C_1 $ szakasz "fölé" az $ A_1C_0 C_1 $ háromszöghöz hasonló $ A_2 C_1C_2 $ derékszögű háromszöget rajzoljuk az ábra szerint.

Az $ A_2C_2 $ átfogó felezőpontja $ A_3 $. Az $ A_3C_2 $ szakasz "fölé" az $ A_2C_1 C_2 $ háromszöghöz hasonló $ A_3 C_2C_3 $ derékszögű háromszöget rajzoljuk. Ez az eljárás tovább folytatható.

a) Számítsa ki az így nyerhető végtelen sok derékszögű háromszög területének összegét (az összeg első tagja az $ A_1C_0C_1 $ háromszög területe)!

b) Igazolja, hogy a $ C_0C_1C_2...C_n $ töröttvonal hossza minden pozitív egész n-re kisebb, mint $ 1,4 $.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

A nyomda egy plakátot 14 400 példányban állít elő. A költségeket csak a nyomtatáshoz felhasznált nyomólemezek (klisék) darabszámának változtatásával tudják befolyásolni. Egy nyomólemez 2500 Ft-ba kerül, és a nyomólemezek mindegyikével óránként 100 plakát készül el. A nyomólemezek árán felül, a lemezek számától függetlenül, minden nyomtatásra fordított munkaóra további 40 000 Ft költséget jelent a nyomdának. A ráfordított idő és az erre az időre jutó költség egyenesen arányos.

a) Mennyi a nyomólemezek árának és a nyomtatásra fordított munkaórák miatt fellépő költségnek az összege, ha a 14 400 plakát kinyomtatásához 16 nyomólemezt használnak?

b) A 14 400 plakát kinyomtatását a nyomda a legkisebb költséggel akarja megoldani. Hány nyomólemezt kell ekkor használnia? Mennyi ebben az esetben a nyomólemezekre és a ráfordított munkaidőre jutó költségek összege?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Írja fel annak az egyenesnek az egyenletét, amelyik illeszkedik a $ P(2; 5) $ pontra, valamint az $ x + y = 4 $ és az $ x + y = 6 $ egyenletű egyeneseket olyan pontokban metszi, amelyek első koordinátájának különbsége 3.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Öt, egymástól távol eső tanya között kábeleket feszítenek ki, bármely két tanya között legfeljebb egyet.

a) Elvileg összesen hány különböző hálózatot lehetséges létrehozni a tanyák között? (A hálózatban a kifeszített kábelek száma 0-tól 10-ig bármennyi lehet. Két hálózatot akkor tekintünk különbözőnek, ha van olyan összeköttetés, amely az egyikben létezik, de a másikban nem.)

b) Takarékossági okokból csak 4 kábelt feszítenek ki úgy, hogy a hálózat azért összefüggő legyen. (Összefüggőnek tekintünk egy hálózatot, ha a kábelek mentén bármely tanyáról bármely másikba el lehet jutni, esetleg más tanyák közbeiktatásával.) Hány különböző módon tehetik ezt meg, ha az egyes tanyákat megkülönböztetjük egymástól?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

A főiskolások műveltségi vetélkedője a következő eredménnyel zárult. A versenyen induló négy csapatból a győztes csapat pontszáma $ \dfrac{4}{ 3} $-szorosa a második helyen végzett csapat pontszámának. A negyedik, harmadik és második helyezett pontjainak száma egy mértani sorozat három egymást követő tagja, és a negyedik helyezettnek $ 25 $ pontja van. A négy csapatnak kiosztott pontok száma összesen $ 139 $.

a) Határozza meg az egyes csapatok által elért pontszámot!

Mind a négy csapatnak öt-öt tagja van. A vetélkedő után az induló csapatok tagjai között három egyforma értékű könyvutalványt sorsolnak ki (mindenki legfeljebb egy utalványt nyerhet).

b) Mekkora a valószínűsége annak, hogy az utalványokat három olyan főiskolás nyeri, akik mindhárman más-más csapat tagjai?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy új típusú sorsjegyből 5 millió darab készült, egy sorsjegy ára 200 Ft. Minden egyes sorsjegyen vagy a "Nyert" vagy a "Nem nyert" felirat található, és a nyertes sorsjegyen feltüntetik a nyertes szelvény tulajdonosa által felvehető összeget is. A gyártás során a mellékelt táblázat szerinti eloszlásban készült el az 5 millió sorsjegy.

a) Ha minden sorsjegyet eladnának és a nyertesek minden nyereményt felvennének, akkor mekkora lenne a sorsjegyek eladásából származó bevétel és a kifizetett nyeremény különbözete?

b) Aki a kibocsátás után az első sorsjegyet megveszi, mekkora valószínűséggel nyer a sorsjegy áránál többet?

c) Számítsa ki, hogy ebben a szerencsejátékban az első sorsjegyet megvásárló személy nyereségének mennyi a várható értéke! (A nyereség várható értékének kiszámításához nemcsak a megnyerhető összeget, hanem a sorsjegy árát is figye- lembe kell venni.)

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy iskola alapítványi bálján a korábban szokásos tombolahúzás helyett egy egyszerű lottóhúzást szerveznek. A szelvényt vásárolóknak az első tíz pozitív egész szám közül kell ötöt megjelölniük. Húzáskor öt számot sorsolnak ki (az egyszer már kihúzott számokat nem teszik vissza). Egy lottószelvény 200 Ft-ba kerül. Egy telitalálatos szelvénnyel 5000 Ft értékű, egy négytalálatos szelvénnyel 1000 Ft értékű, az alapítvány által vásárolt könyvutalványt lehet nyerni. Négynél kevesebb találatot elérő szelvénnyel nem lehet nyerni semmit.

a) Határozza meg annak a valószínűségét, hogy a legkisebb kihúzott szám a 3.

b) Mennyi annak a valószínűsége, hogy a számokat növekvő sorrendben húzzák ki?

Az a) és b) kérdésekre adott válaszait három tizedesjegyre kerekítve adja meg!

c) Számolással igazolja, hogy (három tizedesjegyre kerekítve) a telitalálat valószínűsége 0,004, a négyes találat valószínűsége pedig 0,099.

d) Ha a húzás előtt 240 szelvényt adtak el, akkor mekkora az alapítvány lottóhúzásból származó hasznának várható értéke?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Az $ ABCDEF $ szabályos hatszögben a rövidebb átló hossza $ 5 \sqrt{ 2 } $.

a) Számítsa ki a hatszög területének pontos értékét!

b) Az $ ABCDEF $ hatszög oldalfelező pontjai által meghatározott szabályos hatszög területét jelölje $ t_1 $ , a $ t_1 $ területű hatszög oldalfelező pontjai által meghatározott szabályos hatszög területét $ t_2 $, és így tovább, képezve ezzel a $ \{t_n \} $ sorozatot. Számítsa ki a $ \lim\limits_{n\rightarrow \infty}(t_1 + t_2 + \ldots + t_n ) $ határértéket! (Pontos értékekkel számoljon!)

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

a) Egy téglalapot 720 darab egybevágó kis téglalapra daraboltunk szét. A kis téglalapok oldalai közül az egyik 1 cm-rel hosszabb, mint a másik. Hány cm hosszúak egy-egy kis téglalap oldalai, ha a nagy téglalap területe $ 2025\ cm^2 $ ?

b) Az 1, 2, 3, 4, 5, 6 számjegyekből összesen 720 olyan hatjegyű szám képezhető, melynek számjegyei között nincsenek egyenlők. Ezek között hány 12-vel osztható van?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenleteket!

a) $ 2\sin x-2\sin^2 x=\cos^2 x$

b) $ 25^{\lg x}=5+4\cdot 5^{\lg x}$

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Adott az f, a g és a h függvény:

$ f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, f(x)=2^x-1 $;

$ g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, g(x)=3x+2 $

$ h:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, h(x)=12-x^2 $

a) Legyen a k összetett függvény belső függvénye az f és külső függvénye a h (vagyis $ k(x)=h(f(x)) $ minden x valós szám esetén). Igazolja, hogy $ k(x)=11+2^{x+1}-4^x $ .

b) Oldja meg az $ f(g(x))<g(f(x)) $ egyenlőtlenséget a valós számok halmazán!

c) Mekkora a h és az $ x \mapsto -4 $;  $ (x \in \mathbb{R}) $ függvények görbéi által közbezárt (korlátos) terület?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy kisüzemi meggymagozó-adagoló gép 0,01 valószínűséggel nem távolítja el a magot a meggyből, mielőtt a meggyszemet az üvegbe teszi. A magozógépen áthaladt szemek közül 120-120 darab kerül egy-egy üvegbe.

a) Számítsa ki annak a valószínűségét, hogy egy kiválasztott üvegben legalább 2 darab magozatlan szem van!

A termelés során keletkezett hulladékot nagy méretű konténerbe gyűjtik, melyet minden nap végén kiürítenek és kitisztítanak. A konténer egyenes hasáb alakú. A hasáb magassága 2 m, alaplapja húrtrapéz, melynek méretei az 1. ábrán láthatók. A konténert vízszintes felületen, az 1,8 m × 2 m-es (téglalap alakú) lapjára állítva helyezik el (lásd a 2. ábrát).

1. ábra	2. ábra

b) Számítsa ki a hasáb térfogatát! Határozza meg, hogy milyen magasan áll a konténerben a tisztításához beletöltött $ 2,7 m^3 $ térfogatú folyadék!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

a) Ha egy háromszög szabályos, akkor a körülírt körének középpontja megegyezik a beírt körének középpontjával. Fogalmazza meg a fenti (igaz) állítás megfordítását, és igazolja, hogy a megfordított állítás is igaz!

Az egységnyi oldalú ABC szabályos háromszög minden csúcsánál behúztunk egy-egy szögharmadoló egyenest, így az ábrán látható PQR szabályos háromszöget kaptuk.

b) Számítsa ki a PQR háromszög oldalának hosszát!

A piros, kék, zöld és sárga színek közül három szín felhasználásával úgy színezzük ki az ábrán látható ABQ, BCQ, CQR, ACP és PQR háromszögek belsejét, hogy a közös határszakasszal rendelkező háromszögek különböző színűek legyenek. (Egy-egy háromszög színezéséhez csak egyegy színt használunk.)

c) Összesen hány különböző színezés lehetséges?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

A laptopokban is használt B típusú lítiumion-akkumulátorok töltéskapacitása minden teljes töltési ciklusnál az előző értékének körülbelül 0,06%-ával csökken.

a) Hány százalékkal csökkent az új akkumulátor töltéskapacitása, ha 350 teljes töltési ciklust végeztek vele?

Egy B típusú akkumulátorral minden évben körülbelül 200 teljes töltési ciklust végeznek. (Tételezzük fel, hogy két töltési ciklus között mindig ugyanannyi idő telik el.)

b) Mennyi a felezési ideje a kezdetben új akkumulátor töltéskapacitásának (azaz töltési kapacitása mennyi idő alatt csökken a felére)?

Egy használt laptop-akkumulátorokat árusító üzletben a 25 azonos típusú akkumulátor töltéskapacitása 60% és 80% között van, de közülük csak 10-nek kisebb a töltéskapacitása 70%-nál. Egy vevő a 25 akkumulátor közül hármat vásárol meg.

c) Ha a három akkumulátort véletlenszerűen választja ki, akkor mennyi a valószínűsége annak, hogy legfeljebb az egyiknek lesz 70%-nál kisebb a töltéskapacitása?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy egyesületi összejövetel társaságához 5 nő és 4 férfi csatlakozott, így a nők aránya a korábbi $ 25\% $-ról $ 36\% $-ra nőtt.

a) Hány főből állt az eredeti társaság?

Az ábrán az egyesület székházának függőleges síkú homlokzata látható, amelyet az AC és BC egybevágó parabolaívek határolnak. A parabolák tengelye egy-egy függőleges egyenes, ezek az AB szakasz felezőmerőlegesére szimmetrikusan helyezkednek el. A homlokzat szélessége $ AB = 8 $ méter, magassága $ FC = 6 $ méter, az AF szakasz D felezőpontjában mért tetőmagasság pedig $ DE = 2,5 $ méter.

b) Hány négyzetméter a homlokzat területe?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Ágoston a tanév első két hónapjában három osztályzatot szerzett matematikából (osztályzatok: 1, 2, 3, 4 vagy 5). A második osztályzata nem volt rosszabb, mint az első, a harmadik osztályzata pedig nem volt rosszabb, mint a második.

a) Határozza meg a feltételeknek megfelelő lehetőségek (számhármasok) számát!

Ágoston osztálya kétnapos kirándulásra indul. Kulcsosházban szállnak meg egy éjszakára. A tanulók szállásdíja a résztvevők számától független, rögzített összeg. Az egy tanulóra jutó szállásköltség egy hiányzó esetén 120 Ft-tal, két hiányzó esetén pedig 250 Ft-tal lenne több, mint ha az egész osztály részt venne a kiránduláson.

b) Határozza meg az osztály létszámát és a teljes fizetendő szállásdíjat!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy városban bevezették a fizetős parkolást. A parkolási díj (a parkolás időtartamától függetlenül) napi 10 garas. A díjakból származó teljes bevétel a városi költségvetést illeti. Kezdetben nem alkalmaztak parkolóőröket. Az új rendszer bevezetése után néhány héttel megállapították, hogy naponta kb. 15 000 autós parkolt a fizetős övezetben, és mintegy 25 százalékuk „bliccelt”, azaz nem fizette meg a parkolási díjat. Emiatt a városvezetés – egy előzetes hatástanulmány alapján – parkolóőrök alkalmazása mellett döntött. Az őrök ellenőrzik a díj megfizetését, és annak elmaradása esetén megbírságolják a mulasztó autóst: minden bliccelőnek 150 garast kell fizetnie (ez az összeg tartalmazza a parkolási díjat és a bírságot is). A tanulmány azt állítja, hogy a sűrűbb ellenőrzés növelni fogja a fizetési hajlandóságot: minden egyes újabb parkolóőr alkalmazásával a bliccelők aránya $ 0,5\% $-kal kisebb lesz (például 2 parkolóőr alkalmazása esetén $ 24\% $-ra csökken). A tanulmány számításai szerint egy parkolóőr egy nap alatt kb. 200 autót fog ellenőrizni, továbbá egy parkolóőr alkalmazásának napi költsége 330 garas, amelyet a befolyt parkolási díjakból és bírságokból kell kifizetni. A tanulmány még a következőket feltételezte: naponta átlagosan 15 000 parkoló autó lesz, egy autót legfeljebb egy parkolóőr ellenőriz, és a bliccelők aránya a parkolóőrök által ellenőrzött autók között minden esetben ugyanannyi, mint az összes parkoló autó között.

a) A hatástanulmány becslései szerint mekkora lenne a város parkolási díjakból származó napi nettó (azaz a költségekkel csökkentett) bevétele 10 parkolóőr alkalmazása esetén?

b) Amennyiben a hatástanulmány becslései helytállóak, akkor hány parkolóőr alkalmazása esetén lenne a parkolási díjakból származó napi nettó bevétel maximális?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

a) Egy mértani sorozat hányadosa $ \dfrac{1}{ 4} $, a sorozat első öt tagjának összege $ 852,5 $. Határozza meg a sorozat első tagját! Számításai során ne használjon közelítő értéket!

b) Egy számtani sorozat első öt tagjának összege $ 852,5 $; első tíz tagjának összege pedig $ 2330 $. Számítsa ki a sorozat első tagját és differenciáját!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

a) Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán!

$ 25\cdot\left( \dfrac{1}{5} \right)^x-50\cdot\left( \dfrac{1}{5} \right)^{x+1}+30\cdot\left( \dfrac{1}{5} \right)^{x+2}=81$

b) Igazolja, hogy $\dfrac{\lg 5^x+\lg 5^{-x}}{2}\le \lg \dfrac{5^x+5^{-x}}{2}\ (x\in\mathbb{R}) $

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy nagy méretű, köztéren felállítandó óra számlapját szabályos 12-szög alakúra tervezik. Az $ A_1A_2\ldots A_{12} $ számlapot egy $ 260 cm \times 180 cm $-es téglalap alakú alumíniumlemezből vágják ki az ábra szerint.

a) Mekkora tömegű az óralap, ha az alumíniumlemez vastagsága $ 2 mm $, és $ 1 m^3 $ alumínium tömege 2700 kg?

b) Jelöljük meg a szabályos tizenkétszög $ A_1 $ csúcsát! Hány olyan derékszögű háromszög van, amelynek egyik csúcsa az $ A_1 $, a másik két csúcsa pedig szintén a tizenkétszög valamelyik két csúcsával azonos? (Két háromszöget akkor tekintünk különbözőnek, ha legalább az egyik csúcsuk különböző.)

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Kinga a következő tanítási napra hat házi feladatot kapott, három kötelezőt és három szorgalmit. Egy-egy kötelező házi feladatot kapott matematikából, angolból és magyarból, ezeket biztosan elkészíti. Szorgalmi házi feladatot biológiából, németből és történelemből kapott, ezeket nem feltétlenül csinálja meg: lehet, hogy mind a hármat elkészíti, lehet, hogy csak kettőt vagy egyet, de az is lehet, hogy egyet sem készít el.

a) Összesen hányféle különböző sorrendben készítheti el Kinga a házi feladatait? (Két esetet különbözőnek tekintünk, ha vagy nem ugyanazokat a házi feladatokat, vagy ugyanazokat a házi feladatokat, de más sorrendben oldja meg.)

Kinga matematika-házifeladata ez volt: "500 különböző pozitív egész szám átlaga 1000. Legfeljebb mekkora lehet a számok közül a legnagyobb?"

b) Adja meg Kinga matematika-házifeladatának megoldását!

Kinga, Linda, Misi és Nándi elvállalta, hogy az alacsonyabb évfolyamok tanulói közül hét diákot rendszeresen korrepetálni fog. Az egyénenként vállalt tanulók számát egy megbeszélésen döntik el.

c) Hány különböző módon állapodhatnak meg abban, hogy melyikük hány tanulót korrepetáljon, ha mindegyikük vállal legalább egy tanulót? (Két megállapodást különbözőnek tekintünk, ha legalább egyikük nem ugyanannyi tanulót korrepetál a két megállapodás szerint.) 

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

A római katonák az úgynevezett taxillus-szal játszottak "kockajátékot". (A taxillus a keske vagy a juh térdkalácsából faragott csontocska; ld. a képen.)

Dobás után egy taxillus négy különböző oldalára eshetett. Jelölje ezt a négy különböző helyzetet A, B, C és D. Az egyes dobáskimenetelek nem voltak egyformán valószínűek: az A, illetve a B helyzet egyaránt $ \dfrac{4}{10} $, a C, illetve a D helyzet pedig egyaránt $ \dfrac{1}{10} $ valószínűséggel következett be. A rómaiak általában négy taxillust dobtak fel egyszerre. A Venus-dobás volt az egyik legértékesebb, ekkor a négy csontocska mindegyike más-más oldalára esett.

a) Mennyi a Venus-dobás valószínűsége?

b) Az alábbi két esemény közül melyiknek nagyobb a valószínűsége?

I. Négy feldobott taxillus között lesz olyan, amelyik C helyzetben érkezik le.

II. Négy feldobott taxillus között pontosan egy érkezik le az A helyzetben.

Thalész, a hét görög bölcs egyike, egy nevezetes, neki tulajdonított mérés során egy folyóban lévő sziget AB hoszszát a folyóparton maradva határozta meg.

Először felvett egy e egyenest a parton. Ezen az e egyenesen megkereste azt a C, illetve D pontot, amelyekben a CA, illetve a DB irány merőleges az e egyenesre. Ezután a CD szakasz F felezőpontját is megjelölte egy jelzőkaróval. Ezt követően az AC egyenesen haladva megjelölte azt a G pontot, amelyre B, F és G egy egyenesre illeszkedik; és hasonlóan az AF és BD egyenesek H metszéspontját is megjelölte. Thalész azt állította, hogy a sziget hossza a GH távolsággal egyezik meg.

c) Igazolja Thalész állításának helyességét!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Az $ ABCDEFGH $ négyzetes oszlop $ AE $, $ BF $, $ CG $, $ DH $ élei merőlegesek az $ ABCD $ alaplapra. Az $ A $ csúcsból kiinduló három él hossza $ AB = AD = 8$ egység, $AE=15$ egység.

a) Számítsa ki az $ \overline{EF }$ és $ \overline{AH }$ vektorok skaláris szorzatát!

A négyzetes oszlop köré egy $P $ csúcspontú forgáskúpot illesztünk úgy, hogy az $ A $, $ B $, $ C $, $ D $ csúcsok a kúp alaplapjára, az $ E $, $ F $, $ G $, $ H $ csúcsok pedig a kúp palástjára illeszkedjenek. (A kúp és a négyzetes oszlop tengelye egybeesik.) A kúp magassága 45 egység.

b) Számítsa ki a kúp felszínét!

c) Hány olyan derékszögű háromszög van, amelynek egyik befogója $ 15 $ egység hosszú, és a másik két oldala is egész szám hosszúságú? (Az egybevágó háromszögeket nem tekintjük különbözőknek.)

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Az $ ABCD $ négyzet oldalai 4 méter hosszúak. A négyzetbe az ábrán látható módon az $ EFGH $ paralelogrammát írjuk.

Az $ AH $ és a $ CF $ szakasz hossza $ x $ méter, a $ BE $ és a $ DG $ szakasz hossza $ 2x $ méter $ (0 < x < 2) $.

a) Igazolja, hogy a beírt paralelogramma területe ($ m^2 $-ben mérve): $ T(x) = 4 x^2 -12 x + 16 $.

b) Határozza meg az $ x $ értékét úgy, hogy a beírt paralelogramma területe a lehető legkisebb legyen!

c) Számítsa ki a beírt paralelogramma szögeit, ha $ x = 1,25 $.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy fafajta törzsének keresztmetszetét vizsgáljuk egy adott magasságban. Ez a kereszt- metszet a fa 5 és 20 éves kora közötti növekedése során (jó közelítéssel) mindvégig kör alakúnak tekinthető. A kör átmérőjét a $d: [5; 20] \rightarrow \mathbb{R}, d(x) = -0, 25x^2 + 20 x + 40$ függvény adja meg, ahol $x$ a fa években mért életkorát, $d(x)$ pedig az átmérő milliméterben mért hosszát jelöli.

a) Hány cm a törzs keresztmetszetének átmérője akkor, amikor a fa éppen 10 éves?

b) Hány $dm^2$-rel nő a fatörzs keresztmetszetének területe a 11. évben? Válaszát egy tizedesjegyre kerekítve adja meg!

c) Hány éves a fa akkor, amikor a törzs keresztmetszetének kerülete éppen 1 méter?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Az $ \left\{a_n \right\}$ számtani sorozat első és harmadik tagjának összege 26, a második és negyedik tagjának összege pedig 130.
a) Adja meg a sorozat ötödik tagját!
A $ \left\{ b_n \right\} $ mértani sorozat első és harmadik tagjának összege 26, a második és negyedik tagjának összege pedig 130.
b) Adja meg a sorozat ötödik tagját!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

a) Hány olyan 90-nél nem nagyobb pozitív egész szám van, amely a 2, a 3 és az 5 közül pontosan az egyikkel osztható?
Az ötöslottó-játékban az első 90 pozitív egész számból kell öt különbözőt megjelölni. A sorsoláson öt (különböző) nyerőszámot húznak ki. (Sem a megjelölés, sem a kihúzás sorrendje nem számít.) Kati a 7, 9, 14, 64, 68 számokat jelölte meg. A sorsoláson az első három kihúzott nyerőszám a 7, a 9 és a 14 volt. Kati úgy gondolja, hogy most nagy esélye van legalább négy találatot elérni.
b) Határozza meg annak a valószínűségét, hogy a hátralevő két nyerőszám közül Kati legalább az egyiket eltalálja!
Az egyik játékhéten összesen 3 222 831 lottószelvényt küldtek játékba a játékosok. Az alábbi táblázat mutatja a nyertes szelvények számát és nyereményét (2-nél kevesebb találattal nem lehet nyerni).

c) Számítsa ki, hogy mennyi volt a játékosok egy lottószelvényre jutó átlagos vesztesége ezen a héten, ha a játékba küldött szelvények egységára 250 Ft!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy étteremben (hatósági engedély birtokában) az érvényes általános forgalmi adótól (áfa) kismértékben eltérő adókulcsok alkalmazásának hatását vizsgálták az ételek és italok fogyasztására nézve. Az ételek esetében 4%, az italok esetében 30% áfát adtak hozzá a nettó árhoz, és az így kapott bruttó árat kellett a vendégnek kifizetnie. A kísérlet első napján az új számítógépes program hibája miatt a számlán éppen fordítva adták a nettó árakhoz az áfát: az ételek nettó árához 30%-ot, az italok nettó árához pedig 4%-ot számoltak hozzá, és ez a számlán is így, hibásan jelent meg. Egy család ebben a vendéglőben ebédelt, és a hibás program miatt 8710 Ft-os számlát kapott. A hibát észrevették, így végül a helyes összeget, 7670 Ft-ot kellett kifizetniük.
a) Hány forint volt az elfogyasztott ételek, és hány forint volt az elfogyasztott italok helyes bruttó ára?
Egy másik étteremben 12 és 14 óra között 3900 Ft befizetéséért annyit eszik és iszik a vendég, amennyit szeretne. A befizetendő összeget egy előzetes felmérés alapján állapították meg. A felmérés során minden vendég esetén összeadták az elfogyasztott étel és ital árát az adott fogyasztáshoz tartozó összes egyéb költséggel. Az összesített költségek alapján osztályokba sorolták a vendégeket aszerint, hogy az étteremnek hány forintjába kerültek. Az alábbi táblázat mutatja a felmérés eredményét. A táblázat első sorában az osztályközepek láthatók.

b) A felmérés eredményét felhasználva számítsa ki, hogy ennek az étteremnek 1000 vendég esetén mekkora a várható haszna!
c) A fenti táblázat értékeivel számolva mennyi a valószínűsége, hogy két (ebédre betérő) vendég együttes fogyasztása veszteséget jelent az étteremnek? (A táblázatba foglalt információkat tekinthetjük úgy, hogy egy véletlenszerűen betérő vendég esetén pl. 0,25 annak a valószínűsége, hogy a vendég 2800 Ft-ba kerül az étteremnek.)

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba