Rimányi Richárd

a Rényi Matematikai Kutatóintézet munkatársa és a UNC Chapel Hill oktatója

Schubert-kalkulus, ahol a geometria, az algebra és a kombinatorika találkozik

2010. január 19.

A parabola és az egyenes 2 metszéspontja
2 metszéspont	1 metszéspont, melynek multiplicitása 2	2 komplex metszéspont	1 metszéspont és még egy végtelen távoli

Ahhoz hogy megértsük erre a nehéz, de természetes kérdésre a választ, először könnyebb problémákkal kezdünk. Hány pontban metszi egymást egy egyenes és egy parabola a síkon? Itt a válasz „kettő”. Amikor kettőnél kevesebbnek tűnik a metszéspontok száma, akkor is megvan mindkét metszéspont, ha okosan számolunk. „Okosan” annyit tesz, hogy multiplicitással számolunk, tekintetbe vesszük a végtelen távoli pontokat is, és megengedünk komplex koordinátájú metszés­pontokat is. Ezen nézőpontokat magunkévá téve belátható, hogy egy p-edfokú egyenlettel definiált görbe és egy q-adfokú egyenlettel definált görbe mindig pq pontban metszi egymást a síkon (Bezout tétele).

A parabola és az kör 2· 2=4 metszéspontja
4 metszéspont	3 metszéspont, az egyik multiplicitása 2	2 metszéspont, mindkettő multiplicitása 2

Bezout tételére úgy tekintünk, hogy az tisztázza a sík „metszet-struktúráját”. Az előadás célja, hogy megvizsgáljuk más, a síktól különböző halmazok metszet-struktúráját is.

Eredeti nehéz feladatunk a tér egyeneseinek halmazáról szól. Milyen tulajdonságai vannak ennek a halmaznak, milyen az ő Bezout tétele? Amint jobban megértjük ezt a halmazt válaszolni is tudunk a feladatban feltett kérdésre.

2010 márciusában előreláthatólag Laczkovich Miklós várja a Fazekasban a hallgatóságot. Friss információk a http://matek.fazekas.hu/portal/eloadas/ linken olvashatók. Az iskola címe: 1082, Budapest, Horváth Mihály tér 8.