Matek portál

Arany Dániel

Az 1996/97. évi Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny feladatai

KEZDŐK

Első forduló

1. Határozza meg azokat a valós számpárokat, amelyekre teljesül az alábbi egyenlet:

x⁴+6x³+|y²-x²|+9x²=0.

2. Egységnyi élű kockákból egységnyi alapélű négyzetes oszlopokat készítünk, melyeknek a felszíne egy egységnyi élű kocka felszínének egész számú többszöröse. Hányféle ilyen négyzetes oszlop készíthető, ha legfeljebb 1997 darab egységnyi élű kocka áll rendelkezésünkre egy négyzetes oszlop előállításához?

3. Az ABC háromszögben a C csúcsnál tompaszög van. A háromszög AB oldalához hozzáírt kör az AC egyenest M, a BC egyenest N pontban érinti. Bizonyítsa be, hogy

${1\over3}(CM+CN)<AB<{1\over2}(CM+CN).$

4. A p valós paraméter mely értékei esetén van a valós számok halmazán pontosan egy megoldása az alábbi egyenletnek?

|x+2|-p|x-1|=4

5. Az n és k pozitív egészekről azt tudjuk, hogy n páratlan, k8, az n (tízes számrendszerben) k jegyű, az n-1 osztható $10\;001$ -gyel, továbbá n számjegyeinek összege 6k+3, ${n-1\over10\;001}$ számjegyeinek összege 3k+1, végül ${n-1\over10\;001}$ -ben található k-6 darab megegyező, egymásutáni páratlan számjegy. Mi lehet a k?

Második forduló

I kategória: Szakközépiskolások

1. Az ABCD négyzet oldala 10 cm. Bizonyítsa be, hogy a PQRS négyszög négyzet, és a négyzetek területeire fennáll a következő egyenlőtlenség:

2^.T_PQRS=T_ABCD.

2. Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet:

$[x]={8\over7}x-{3\over7},$

ahol [x] az x szám egész részét jelenti.

3. Oldja meg az egész számpárok halmazán az alábbi egyenletet:

x³-y³=91.

II. kategória: Nem speciális matematika tantervű gimnáziumi tanulók

1. Oldja meg az egész számpárok halmazán az alábbi egyenletet: x³-y³=91.

2. Az ABCD téglalap két szomszédos oldala 30 cm és 50 cm. Bizonyítsa be, hogy az ABCD téglalap és a PQRS négyszög területeire fennáll a következő egyenlőtlenség:

30^.T_PQRS=17^.T_ABCD.

3. A tízes számrendszerben hány olyan 6-tal osztható n jegyű szám (nN⁺ és n>2) van, amelyre teljesül, hogy a számjegyeinek összege megegyezik azzal az (n-1) jegyű számmal, amelyet belőle a legmagasabb helyiértékű helyen álló számjegyének elhagyásával kapunk?

III. kategória: Speciális matematika tantervű gimnáziumi tanulók

1. Igaz-e, hogy bármely b és c valós számhoz található olyan K pozitív valós szám, hogy minden K-nél nagyobb a és x valós szám esetén teljesül a következő egyenlőtlenség:

ax²+bx+c>0.

2. Az ABC háromszögben CA=CB. Vegyen fel a háromszög köré írható kör BC ívén egy tetszőleges P pontot, és legyen a C-ből az AP-re bocsátott merőleges talppontja T. Igazolja, hogy

$\ol{AT}=\ol{TP}+\ol{PB}.$

3. Legyen

$c_n:=\left(1+{1\over n}\right)^n\left(1+{1\over4n}\right),\qquad n\in{\bf N}^+.$

Bizonyítsa be, hogy c_n<c_n+1, nN⁺.

HALADÓK

Első forduló

I. és II. kategória: Szakközépiskolások és nem speciális tantervű gimnáziumi tanulók

1. A p paraméter mely értéke esetén van a

$\sqrt{x-\sqrt{x-p}}=\sqrt{p+\sqrt{x-p}}$

egyenletnek pontosan egy gyöke az egész számok halmazán?

2. Az A, illetve B középpontú kör kívülről érinti egymást az E pontban. Egyik közös külső érintőszakaszuk felezőpontja az F pont. Az FA és FB szakasz a két kört a C és D pontban metszi.

Bizonyítsuk be, hogy a CED szög nagysága független az érintkező körök sugarának hosszától!

3. Igazoljuk, hogy bármely valós a és b számra teljesül a 8(a⁴+b⁴)(a+b)⁴ egyenlőtlenség!

4. Az ABCD négyzet AB oldalának A csúcshoz közelebbi harmadolópontja az E pont, a DC oldal felezőpontja pedig az F pont. A négyzet AC átlóját a DE szakasz az M pontban, a BF szakasz az N pontban metszi. Bizonyítsuk be, hogy az AEM és a CFN háromszögek hasonlóak!

5. Egy téglalap alakú táblázat 8000 darab mezőt tartalmaz. Kiválasztottuk néhány, de 2-nél több sorát és 2-nél több oszlopát. Azt tapasztaltuk, hogy azoknak a mezőknek a száma, amelyeknek sora és oszlopa közül legalább az egyik ki van választva, 1996. Hány sort és hány oszlopot választottunk ki?

III. kategória: Speciális matematika tantervű gimnáziumi tanulók

1. Oldjuk meg a valós számpárok halmazán az

${x^2(x+1)\over y+1}+{y^2(y-1)\over x-1}={2\over y+1}-{2\over x-1}$

egyenletet!

2. Mutassuk meg, hogy ha a, b, c egy háromszög oldalainak hossza, akkor

$3\le{(a+b+c)^2\over ab+bc+ca}<4.$

3. Az ABC hegyesszögű háromszög köréírt körének középpontja K, magasságpontja pedig M. Bizonyítsuk be, hogy ha a BAC szög 60^o-os, akkor az A csúcsból a KM szakaszra állított merőleges felezi a KM szakaszt!

4. Melyik az a legkisebb pozitív egész szám, amely előállítható

a) 81^x-5^y,

b) |81^x-5^y|

alakban, ahol x és y pozitív egész szám?

Második forduló

I. kategória: Szakközépiskolások

1. Mekkora területű alakzatot határoznak meg azok a P(x;y) koordinátájú pontok, amelyeknek x és y koordinátája kielégíti az 1996|x|+|y|1997 egyenlőtlenségrendszert?

2. Egy ABC derékszögű háromszög CAB szöge 30^o, AC=a. Rajzoljunk az AC átfogó fölé félkört, majd A-ból, mint középpontból, AB sugárral körívet. Messe ez a körív a félkört D-ben. Mekkora a BCD síkidom területe?

3. Bizonyítsuk be, hogy az 5 az egyetlen olyan pozitív prímszám, amelynek négyzete öt darab pozitív prímszám négyzetének összegeként állítható elő!

4. Mutassuk meg, hogy ha a, b, c egy háromszög oldalainak hossza, akkor

$3\le{(a+b+c)^2\over ab+bc+ca}<4.$

II. kategória: Nem speciális tantervű gimnáziumi tanulók

1. Van-e olyan valós (x;y) számpár, amelyre teljesül, hogy

${x^2(x+1)\over y+1}+{y^2(y-1)\over x-1}={2\over y+1}-{2\over x-1}\ ?$

2. Az ABC háromszög AB oldalának Thálesz-köre az AC oldalt a P, a BC oldalt pedig a Q pontban metszi. Mekkora az ACB szög, ha a PQ szakasz felezi az ABC háromszög terrületét?

3. Öt pozitív prímszám négyzetének összege egy p (pozitív) prímszám négyzete. Határozzuk meg p² értékét!

4. Mutassuk meg, hogy ha a, b, c egy háromszög oldalainak hossza, akkor

$3\le{(a+b+c)^2\over ab+bc+ca}<4.$

Harmadik (döntő) forduló

I. kategória: Szakközépiskolások

1. Hányféleképpen lehet megválasztani az a, b, x, y pozitív egész számokat úgy, hogy teljesüljön a következő három feltétel:

x és y legnagyobb közös osztója a;
x és y legkisebb közös többszöröse b;
a és b szorzata 10¹⁹⁹⁷?

2. Az AB átmérőjű egységsugarú k₁ kört az e egyenes a B pontban érinti. Egy r sugarú k₂ kör kívülről érinti a k₁ kört az A-tól és B-től különböző pontban, továbbá érinti az e egyenest is. Az A pontból a k₂ körhoz húzott egyik érintő érintési pontja C. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges r esetén az ABC háromszög egyenlő szárú!

3. Igazoljuk, hogy ha egy egyenlő szárú háromszög szára b, beírt körének sugara pedig r, akkor ${b\over r}>3$ .

II. kategória: Nem speciális matematika tantervű gimnáziumi tanulók

1. Két párhuzamos egyenes közül az egyiken n darab, a másikon k darab pontot jelöltünk ki. Tekintsük az összes olyan háromszöget, amelyeknek csúcsai a kijelölt pontok közül valók.

a) Igazoljuk, hogy n és k megválasztható úgy, hogy a háromszögek száma tetszőleges, adott négyzetszám legyen!

b) Bizonyítsuk be, hogy a háromszögek száma nem lehet 3-nál nagyobb prímszám!

2. Az AB átmérőjű egységsugarú k₁ kört az e egyenes a B pontban érinti. Egy r sugarú k₂ kör kívülről érinti a k₁ kört az A-tól és B-től különböző pontban, továbbá érinti az e egyenest is. Az A pontból a k₂ körhoz húzott érintő egyik érintési pontja a C pont. Bizonyítsuk be, hogy az AC szakasz hossza független az r sugár hosszától!

3. Igazoljuk, hogy ha egy egyenlő szárú háromszög szára b, beírt körének sugara pedig r, akkor ${b\over r}>3$ .

III. kategória: Speciális matematika tantervű gimnáziumi tanulók

1. Hányféleképpen lehet megválasztani az a, b, x, y, z pozitív egész számokat úgy, hogy teljesüljön a következő három feltétel:

x, y és z legnagyobb közös osztója a;
x, y és z legkisebb közös többszöröse b;
a és b szorzata 10¹⁹⁹⁷?

2. Igazoljuk, hogy ha egy derékszögű háromszög lefedhető két darab 1 egység sugarú körlappal, akkor területe legfeljebb ${3\sqrt3\over2}$ területegység!

3. Rendelkezésünkre áll tetszőleges számú 3 egység, 5 egység és 8 egység oldalú négyzetlap. Ezekkel egy 1997 egység oldalú négyzetlapot kell hézagmentesen és átfedés nélkül kirakni. Igazoljuk, hogy a kirakáshoz mindhárom fajta négyzetlapot fel kell használni! Adjunk is meg egy megfelelő kirakást!

hraskoa@fazekas.hu