Informatikai és Hírközlési Minisztérium Oktatási Minisztérium Apache Php Mysql Fazekas Mihály Gyakorlóiskola
  Bejelentkezás
Üdvözöljük a Matematika portálon!  
Kvant 1996 tábor

Az 1996. évi nyári tábor feladatai

Egyéni verseny (Olimpia)

T. 226 A Pelipáty és Kólinc közötti országút minden kilométerénél egy-egy kis kőoszlop áll az út szélén. Ennek egyik, illetve másik oldalára az van írva, hogy hány kilométer van még Pelipátyig, illetve Kólincig. Boriska észrevette, hogy a számjegyek összege minden kilométerkövön 13. Mennyi az út Pelipátytól Kólincig?
Megoldás
T. 227 Vágd szét az 1×5-ös téglalapot 5 részre úgy, hogy a darabokból négyzetet lehessen összeállítani!
Megoldás
T. 228 Berajzoltuk egy kör néhány (véges sok) húrját úgy, hogy mindegyik húr átmenjen valamelyik másik húr felezőpontján. Bizonyítsd be, hogy ez csak úgy lehetséges, hogy mindegyik húr átmérő!
Megoldás
T. 229 Az a, b, c számok olyanok, hogy az y = ax +b, y = bx + c, y = cx + a függvények grafikonjának van közös pontja. Bizonyítsd be, hogy a = b = c!
Megoldás
T. 230 Kopasz kupec kasszájában hosszú idő óta először pénz gyűlt össze, 99 érme. Tudni lehet sajnos, hogy az egyik érme hamis, súlya különbözik a többiétől, amelyek viszont mind jók és egyforma nehezek. Az alkalmazottak már régóta nem kapták meg járandóságukat és most felháborodva követelik, hogy azonnal kapják meg bérüket a jó érmékből. A kupec intézőjénél egy kétkarú mérleg van, de súly nincs nála. Ahogy kiderül valamelyik érméről, hogy jó, akkor azonnal ki kell adni fizetésként, a további mérésekben már nem vehet részt. A kíváncsi intéző szeretné megtudni, hogy a hamis érme könnyebb- vagy nehezebb-e, mint a szabályos érmék. Biztosan rá tud erre jönni?
Megoldás
T. 231 Az ABCD konvex négyszög A-nál és B-nél lévő belső szögeinek szögfelezői az M, a C-nél és D-nél fekvő belső szögek szögfelezői az N pontban metszik egymást. Tudjuk, hogy az M és N pontok különbözők, és az MN egyenes merőleges AB-ra. Bizonyítsd be, hogy az A-nál és B-nél fekvő szögek egyenlők!
Megoldás
T. 232 A Torpedó játékban egy 10×10-es táblán kell elhelyezni a 10 hajóból álló "hajórajt”. Egy hajó a tábla egy 1×2-es téglalapja, a különböző hajóknak megfelelő téglalapoknak nem lehet közös pontja, még közös oldala, csúcsa sem. Bizonyítsd be, hogy 32 megfelelően választott "lövéssel” biztosan el lehet találni legalább egy hajót!
Megoldás
T. 233 50 természetes szám legkisebb közös többszöröse megegyezik 50 másik természetes szám legkisebb közös többszörösével. Lehetséges-e, hogy ez a száz szám 100 egymást követő természetes szám?
Megoldás

Szakkörök közti vetélkedők

1. változat

T. 234 A Torpedó játék egyik változatát 8×8-as táblán játsszák. Erre az egyik játékos egy "hajót”, azaz egy 1×4-es téglalapot rak. A másik játékos - a hajó helyzetét nem ismerve – detektorokat helyezhet el a tábla mezőire, amelyek jelzik, hogy az adott mezőn van-e hajó vagy nincs. Legkevesebb hány detektort kell elhelyezni ahhoz, hogy egyértelműen meg lehessen határozni a hajó pontos elhelyezkedését, akárhová is tette azt az első játékos?
Megoldás
T. 235 Lehet-e 3 – nem feltétlenül különböző – egész kitevős hatványai közül ezernek az összege éppen 3333?
Megoldás
T. 236 Az ax + by + c = 0 , bx + cy + a = 0 , cx + ay + b = 0 egyenesek a pozitív síknegyedben, egy közös pontban metszik egymást. Határozd meg a metszéspont koordinátáit (figyelembe véve az összes lehetőséget)!
Megoldás
T. 237 Az ABC háromszög AA1, CC1 szögfelezőinek felezőmerőlegese az AC oldalon metszi egymást. Bizonyítsd be, hogy AC 2 = AB × BC!
Megoldás
T. 238 Péter számokat ír a táblára: az életkorával kezdi (években számolva), és a következő számot mindig úgy kapja, hogy az előzőhöz hozzáadja annak legnagyobb számjegyét. Fel fogja-e valaha írni 10...096-ot (ahol az 1-es és a 9-es között 1996 nulla van)?
Megoldás (DOC), Megoldás (PDF)
T. 239 Gabiék fürdőkádja a melegvizes csapból 23 perc alatt, a hidegvizesből 17 perc alatt telik meg. Gabi először a melegvizes csapot nyitotta meg. Mennyi idő múlva engedje meg a hidegvizes csapot, ha azt akarja, hogy 1,5-szer annyi kerüljön a kádba a melegvízből, mint a hidegből, amikor az éppen megtelik?
Megoldás (DOC), Megoldás (PDF)
T. 240 A diákok 17 kétjegyű pozitív egész számot írtak a táblára. Kiderült, hogy az egyik szám századik hatványa osztható a 17 szám mindegyikével. Bizonyítsd be, hogy ebben az esetben az is igaz, hogy ez a hatvány osztható a 17 szám szorzatával is!
Megoldás (DOC), Megoldás (PDF)
T. 241 Bergengóciában olyan az úthálózat, hogy minden út egyenesen halad egyik városból egy másikba, az utak egymást nem keresztezik, és bármelyik városból bármelyik másikba el lehet jutni nyílegyenesen, esetleg más, közbeeső városokon áthaladva. Igaz-e, hogy Bergengócia mindegyik városa – egy vagy két kivételtől eltekintve – egy egyenesen helyezkedik el?
Megoldás (DOC), Megoldás (PDF)

2. változat

T. 242 a, b és n olyan természetes számok, amelyekre a96 + b96 és a100 + b100 is osztható n-nel. Bizonyítsd be, hogy a1996 + b1996 is osztható n-nel!
Megoldás (DOC), Megoldás (PDF)
T. 243 Az ABCD derékszögű trapéz AB magasságának hossza egyenlő a AD, BC alapok hosszának összegével. Bizonyítsd be, hogy az ABC szög szögfelezője megfelezi a CD oldalt!
Megoldás (DOC), Megoldás (PDF)
T. 244 Egy 5×5-ös táblázat mezőibe úgy írtuk be az 1, 2, ..., 25 számokat, hogy bármelyik két egymás után következő szám egymással szomszédos mezőbe került (olyanokba, amelyeknek van közös oldala). Legfeljebb hány prímszám kerülhetett egy sorba?
Megoldás (DOC), Megoldás (PDF)
T. 245 A
SOK + SOK + ... + SOK= ELÉG
számrejtvényben a különböző betűk különböző, az azonos betűk azonos számjegyeket jelölnek. Legfeljebb hány "SOK" adhatja ki az "ELÉG"-et?
Megoldás (DOC), Megoldás (PDF)
T. 246 Ki lehet-e jelölni az 1996×1996-os négyzetrácsban néhány kis négyzetet úgy, hogy bármelyik két olyan 1000×1000-es négyzetben, amelynek oldalai az eredeti rács egyenesein vannak, különböző számú megjelölt kis négyzet legyen?
Megoldás (DOC), Megoldás (PDF)
T. 247 Gyáva Oroszlán és Bádogember ugyanazon a napon, ugyanazon az úton, ugyanabban az irányban indultak el, hogy eljussanak Smaragdvárosba. Kezdetben Bádogember 100 mérföldre volt a céltól, 28 mérfölddel távolabb, mint Gyáva Oroszlán. Mindketten reggel 8-tól este 8-ig voltak úton, és egy napon belül mindig állandó volt a sebességük. Bádogember az első nap 20, a másodikon 18, a harmadikon 16 km-t tett meg, és így tovább, míg a Gyáva Oroszlán 4 km-rel kezdte, de a másodikon már 8 km-t haladt, a harmadikon 12-őt, és így tovább. Hol és mikor találkoztak egymással?
Megoldás (DOC), Megoldás (PDF)
T. 248 Adott 25 pozitív egész, melyek egyike sem nagyobb 1000-nél. Tudjuk, hogy közülük bármelyik kettő szorzata négyzetszám. Bizonyítsd be, hogy mind a 25 szám négyzetszám!
Megoldás (DOC), Megoldás (PDF)
T. 249 A PIFAGOR és TEOREMA szavakban az azonos betűk azonos, a különböző betűk különböző számjegyeket jelölnek. Egy szóban két szomszédos betűnek megfelelő számpárt rendetlennek nevezünk, ha a bal oldali szám nagyobb a jobb oldalinál. Legkevesebb hány rendetlen számpár van összesen a két szóban?
Megoldás (DOC), Megoldás (PDF)

3. változat

T. 250 Kovács - a házfelügyelő - szedi össze a pénzt a lakóktól a lakásokra kitett új számok miatt. Szabó azt szeretné megtudni tőle, hogyan lehetséges, hogy nekik, a harmadik lépcsőházban, összesen 20%-kal többet kell fizetniük, mint a második lépcsőházban lakóknak összesen, pedig mindegyik lépcsőházban ugyanannyi lakás van. Kovács nem jön zavarba, elmagyarázza, hogy a kétjegyű számokért kétszer, a háromjegyűekért háromszor annyit kell fizetni, mint az egyjegyűekért. Hány lakás van egy lépcsőházban?
Megoldás (DOC), Megoldás (PDF)
T. 251 A tanár az
a1x + a2 = 0, a2x + a3 = 0, a3x + a4 = 0, a4x + a5 = 0, a5x + a1 = 0
egyenleteket, és a 0,1; 0,2; 0,3; ... ; 0,9; 1; 1,1; ... ; 2 számokat írta a táblára. Azt mondta, hogy mindegyik egyenletnek egy-egy megoldása van, ami megtalálható a felírt számok között. Péter szerint ez lehetetlen. Igaza van-e?
Megoldás (DOC), Megoldás (PDF)
T. 252 A számegyenesen megjelöltük az 1, 2, 3, ... , 99, 100 számokat. Egy szöcske az 1-ről indulva 99-et ugrott, minden megjelölt számjegyet pontosan egyszer keresett föl és legvégül 100-ra érkezett. Lehetséges-e, hogy ugrásai hosszának összege épp 1996?
Megoldás (DOC), Megoldás (PDF)
T. 253 Egy olyan körmérkőzéses focibajnokságot vizsgálunk, amelyben bármely két csapat pontosan egyszer játszik egymással, a győzelemért 3, a döntetlenért 1, a vereségért 0 pont jár. A bajnokság végén, az pontszámok kiszámolása után egy mérkőzést érdekesnek nevezünk, ha az a csapat nyert, amelyiknek kevesebb pontja lett, érdektelennek pedig az olyan mérkőzést nevezzük, amelyet a több pontszámot elért csapat nyert meg. Lehetséges-e, hogy a bajnokságban több érdekes mérkőzés volt, mint érdektelen?
Megoldás (DOC), Megoldás (PDF)
T. 254 32 (1×2-es) dominóval egy (8×8-as) négyzetet raktunk ki. Bizonyítsd be, hogy a dominók kifesthetők úgy, hogy közülük 8 piros, 8 kék, 8 zöld és 8 sárga legyen, és semelyik két azonos színű dominónak se legyen közös határvonala (legfeljebb csak a sarka)!
Megoldás (DOC), Megoldás (PDF)
T. 255 Mennyit kapunk eredményül, ha összeadjuk azokat az 1000-nél nem nagyobb pozitív egész számokat, amelyekben a számjegyek összege páratlan?
Megoldás (DOC), Megoldás (PDF)
T. 256 Adott az egységnyi oldalhosszúságú ABCD négyzet, és az AB, BC, CD, DA oldalakon a K, L, M, N pontok úgy, hogy AK + AN + CL + CM = 2. Bizonyítsd be, hogy a KM és az LN szakaszok merőlegesek egymásra!
Megoldás (DOC), Megoldás (PDF)
T. 257 Születésnapja alkalmából Leonhard Euler megkínálta barátait egy háromszög alakú tortával, amelyet a szögfelezők mentén vágva hat részre darabolt föl. A késve érkező Münchausen bárónak maradt az utolsó szelet, amely derékszögű háromszög alakú volt. A szelet alakja alapján a báró kijelentette, hogy a torta csakis egyenlő szárú háromszög alakú lehetett. Igaza volt-e?
Megoldás (DOC), Megoldás (PDF)

4. változat

T. 258 Bizonyos egész számokat nak nevezünk. Ismeretes, hogy az 1000 jó szám, és hogy ha 53x + 54y jó szám, akkor 54x + 53y is az (x és y tetszőleges egész számok). Bizonyítsd be, hogy 1996 is jó szám!
Megoldás (DOC), Megoldás (PDF)
T. 259 1996 diót 20 nem üres kupacba osztottunk. Át szabad tenni egy diót az A kupacból a B kupacba, ha A-ban több mint 1 dió van és az A-beli diók száma osztható a B-beli diók számá-val. Bizonyítsd be, hogy a kupacok ilyen rendezéseivel elérhető, hogy a 20 kupac mindegyikében legalább 3 dió legyen!
Megoldás (DOC), Megoldás (PDF)
T. 260 Péter és Pál egy-egy egymással egybevágó sokszögalakú papírlapot kapott. Sokszöglapjukat mindketten fölosztották egy-egy vonal mentén két részre, és az egyiket pirosra, a má-sikat kékre festették. Kiderült, hogy a két kék rész is egybevágó egymással és a két piros is. Igaz-e, hogy a két eredeti sokszöglapba Péter és Pál által berajzolt két vonal is egybevágó egymással?
Megoldás (DOC), Megoldás (PDF)
T. 261 Egy 8 résztvevős sakkversenyen mindenki mindenkivel játszik. Döntetlen esetén (és csakis ebben az esetben) váltott színnel újrajátsszák a partit és a második mérkőzés eredménye kerül a jegyzőkönyvbe. Előfordulhat-e, hogy a bajnokság során két résztvevő 11-szer, egy 10-szer, három 8-szor és kettő 7-szer játszott?
Megoldás (DOC), Megoldás (PDF)
T. 262 Legfeljebb hány színt használhatunk egy 4×4-es négyzet kifestéséhez (egy-egy rácsnégyzetet egy-egy színnel festünk), ha azt akarjuk, hogy minden 2×2-es négyzetben legyen két egyforma színű rácsnégyzet?
Megoldás (DOC), Megoldás (PDF)
T. 263 Van-e 1996 darab olyan páronként relatív prím egész szám, amelyek közül bármely néhány (de legalább kettő) összege összetett szám?
Megoldás (DOC), Megoldás (PDF)
T. 264 A és B egy kör (nem diametrálisan átellenes) rögzített pontjai. E kör minden XY átmérőjére (X ¹ A, Y ¹ B) bejelöljük az AX és a BY egyenesek metszéspontját. Mit alkotnak az így bejelölt pontok?
Megoldás (DOC), Megoldás (PDF)
T. 265 Egy pozitív törtszámot rossznak nevezünk, ha nem állítható elő a

... ...

sorozat elemei közül véges soknak az összegeként. Igaz-e, hogy az 1/1996-nál kisebb rossz törtek véges sokan vannak?

Megoldás (DOC), Megoldás (PDF)

5. változat

T. 266 Bizonyítsd be, hogy ha 0 < a < b < c < d, akkor az x4 + bx + c = 0 és az x4 + ax + d = 0 egyenleteknek nincs közös gyöke!
Megoldás (DOC), Megoldás (PDF)
T. 267 Adott a síkon néhány (de legalább két) pont. Egy szakaszt, melynek végpontjai az adott pontok közül valók párosnak (illetve páratlannak) nevezünk, ha páros (illetve ha páratlan) sok adott pont van rajta. Bizonyítsd be, hogy több páros szakasz van, mint páratlan!
Megoldás (DOC), Megoldás (PDF)
T. 268 Néhány (nem feltétlenül különböző) pozitív egész szám összege 1996. Lehet-e a reciprokaik összeg éppen 1?
Megoldás (DOC), Megoldás (PDF)
T. 269 Legfeljebb hány csúcsa lehet egy olyan sokszögnek, amelynek ha megrajzoljuk mindegyik oldalegyenesét, akkor összesen csak hat különböző egyenest kapunk a síkon?
Megoldás (DOC), Megoldás (PDF)
T. 270 Mutasd meg, hogy ha az x3 + y3 + z3 - 3xyz = n egyenlet megoldható x, y, z egész számokkal, akkor az x3 + y3 + z3 - 3xyz = 2n egyenletnek is van egész megoldása az x, y, z változókban.
Megoldás (DOC), Megoldás (PDF)
T. 271

Nevezzük az ötszög súlyvonalának az egyik csúcsát a szemköztes oldal felezőpontjával összekötő szakaszt! Igaz-e, hogy az öt súlyvonal minden konvex ötszögben egy közös pontban metszi egymást?
Megoldás (DOC), Megoldás (PDF)
T. 272 Osztap Bender egy feketetengeri kaszinó krupiéjával játszik. A játék során a játékosok felváltva következnek (először a krupié, utána Osztap), mindig áttéve néhány zsetont a fekete mezőről a vörösre. Egy lépésben legalább egy, de legfeljebb annyi zsetont lehet áttenni, amennyi a vörösön már van. Az nyer, aki az utolsó zsetont teszi át. A játék kezdetén a vörös mezőn 10 zseton volt, a feketén pedig egy bizonyos mennyiség (de nem nulla), amelyet Osztap jól megfigyelt. Osztap zsebében még 10 zseton lapul, amelyet a játék megkezdése előtt szeretne észrevétlenül ráejteni a táblára, néhányat a fekete, néhányat a vörös mezőre. Bizonyítsd be, hogy ha ügyesen csinálja, akkor nyerni tud!
Megoldás (DOC), Megoldás (PDF)
T. 273 Adott a síkon az A, a B és a C pont. Szerkessz olyan C középpontú kört, amelynek (egyik) A-t tartalmazó érintője merőleges az (egyik) B-t tartalmazó érintőjére!
Megoldás (DOC), Megoldás (PDF)

6. változat

T. 274 Tíz érménk van melyek tömege rendre 1, 2, 3, ... 10 gramm. Mindegyik érme mellé egy-egy cédulát tettek, amely mutatja az érme tömegét. Sajnos két, egymástól 1 g-mal eltérő tömegű érme céduláit felcserélték. Meg lehet-e találni ezt a két érmét egy kétkarú mérleg kétszeri alkalmazásával, súlyok használata nélkül?
Megoldás (DOC), Megoldás (PDF)
T. 275 Van-e olyan csupa különböző számjegyből álló 111-gyel osztható pozitív egész szám, amelyben a számjegyek csökkenő sorrendben következnek egymás után?
Megoldás (DOC), Megoldás (PDF)
T. 276

Határozd meg a négyzetrácsra rajzolt ábrán az MAN, MBN, MCN, MDN és MEN szögek összegét!
Megoldás (DOC), Megoldás (PDF)

T. 277 Bizonyítsd be, hogy ha egy zárt töröttvonal bármelyik két oldalának van közös pontja, akkor a töröttvonal páratlan szakaszból áll!
T. 278 A sakktábla bizonyos mezőin egy-egy bábu áll. A bábukkal ugorva léphetünk, mindig csak egy szomszédos (függőlegesen, vízszintesen vagy átlós irányban) mezőn álló bábut ugorhatunk át az egyenesükön közvetlenül következő mezőre, ha az üres. Legfeljebb hány bábut lehet úgy elhelyezni a táblán, hogy bármelyikkel megtehessük az első ugrást?
T. 279 Egy háromszög egyik szöge 30°-os. Bizonyítsd be, hogy a körülírt kör sugara rövidebb a kerület felénél!
Megoldás (DOC), Megoldás (PDF)
T. 280 Az "Id Software" cég szörnyeket tenyészt. Ezek a szörnyek naponta mutálódnak. Ha a szörnynek ma m keze és n lába van, akkor holnap 2m - n keze és 2n - m lába lesz. A szörny elpusztul, ha negatív számú keze vagy lába keletkezik. Bizonyítsd be, hogy akkor és csakis akkor élhet örökké egy szörny, ha ugyanannyi keze van, mint lába.
Megoldás (DOC), Megoldás (PDF)
T. 281 A táblán ez olvasható: ax = b. Ketten játszanak. Kezdő mond egy első számot, majd egy másodikat is. Második, saját tetszése szerint, az egyik számot a-nak, a másodikat b-nek felelteti meg. Így egy egyenletet kapnak. Ha a Kezdő által mondott első szám kielégíti az egyenletet, akkor Kezdő nyer, egyébként Második a győztes. Kinek van nyerő stratégiája?
Megoldás (DOC), Megoldás (PDF)

Írásbeli kiegészítő forduló

T. 282 Igaz-e, hogy a

számok bármely m, n különböző pozitív egész számok esetén relatív prímek egymáshoz?

T. 283 0 Legalább hány lovat kell a sakktáblára tennünk ahhoz, hogy minden világos mező ütésben álljon?
T. 284 Egy paralelogramma mindegyik oldalán adott egy pont. El szeretnénk dönteni, hogy a négy pont által meghatározott négyszög területe megegyezik-e a paralelogramma területének felével. Meg tudjuk-e mindig válaszolni a kérdést, ha csak egy körző áll a rendelkezésünkre?
Megoldás (DOC), Megoldás (PDF)
T. 285 Igaz-e, hogy bármely százjegyű pozitív egész számból kitörölhető az egyik számjegy úgy, hogy a megmaradó szám (jobbról számított) páros helyein legfeljebb annyi hetes számjegy legyen, mint a páratlan helyeken?
T. 286 1, 5, 25, 125, ... 5997 grammos súlyaink vannak, mindegyikből 2-2, összesen tehát 1996 darab. Meg tudunk-e mérni ezek és egy kétkarú mérleg segítségével minden olyan egész gramm tömegű tárgyat, amely nem nehezebb, mint 1996 darab súlyunk összesen?
Megoldás (DOC), Megoldás (PDF)
T. 287 Egy iskolába 1996 gyerek jár. Mindegyiknek, a többi 1995 közül pontosan k tetszik. k mely értékei esetén lehetünk benne biztosak, hogy vagy van két olyan diák, akik tetszenek egymásnak, vagy van két olyan diák, akik nem tetszenek egymásnak?

Az elődöntő feladatai

T. 288 Mutasd meg, hogy ha (x + y + z) × (xy + yz + zx) = xyz, akkor (x + y) × (y + z) × (z + x) = 0!
Megoldás (DOC), Megoldás (PDF)
T. 289 Egy kocka minden lapján egy-egy szám látható. Minden szomszédos lappárnál kiszámoljuk a két lapra írt szám különbségének abszolút értékét. Bizonyítsd be, hogy az így kapott 12 szám két hatos csoportba osztható úgy, hogy az egyik csoportban található számok összege megegyezzen a másik csoportban találhatókéval!
T. 290 Bizonyítsd be, hogy ha az ABC és az OBC háromszög is szabályos és az M pont az O középpontú OB sugarú körön helyezkedik el, akkor MA2 = MB2 + MC2!
Megoldás (DOC), Megoldás (PDF)
T. 291 Egy 8×8-as négyzetrács alakú vonalazást szeretnénk összeállítani kétféle vonaldarab fölhasználásával: 1×1-es négyzet alakú vonalat és olyan derékszöget használhatunk, amelynek mindkét szára 2 egység. Lehetséges-e ilyen összeállítás, ha a kétféle építőelemből összesen csak 36-ot használhatunk?


Megoldás (DOC), Megoldás (PDF)
T. 292 15 csapat olyan bajnokságon méri össze tudását, amelyben mindegyik csapat mindegyikkel pontosan egyszer játszik. Bizonyítsd be, hogy a bajnokság során lesz olyan mérkőzés, amelynek két résztvevője azt megelőzően páratlan mérkőzést játszott!
Megoldás (DOC), Megoldás (PDF)
T. 293 Peti szétvág egy téglalap alakú papírlapot egy egyenes mentén. Az így kapott két papírdarab közül az egyiket megint szétvágja egy egyenes mentén. Ezután a három lap közül választ egyet, és azt is szétvágja egy egyenes mentén. Így halad tovább. Bizonyítsd be, hogy kellően sok vágás után a sokszögalakú papírlapok között biztosan lesz 100 darab ugyanannyi oldalú, azaz 100 háromszög, vagy 100 négyszög, stb!
T. 294 Rajzold meg az ABC háromszög CM súlyvonalát! Az AM és a BC szakaszok felezőmerőlegeseinek metszéspontja legyen P, AC és BM felezőmerőlegeseinek metszéspontja pedig Q! Bizonyítsd be, hogy PQ és CM merőlegesek egymásra!
T. 295 Előfordul-e, hogy M óra N perckor a nagy és a kis mutató szöge éppen MN ° (M és N pozitív egész számok)?

A döntő feladatai

T. 296 Az m×n-es négyzetrácsból kivágjuk a belső mezők által alkotott (m-2)×(n-2)-es részt (m, n > 2). A megmaradt "szegélyen" ketten játszanak, felváltva lépnek. Egy lépésben ki lehet vágni bármely - négyzetrácsok alkotta - téglalap alakú részt (lehet ez egyetlen rácsnégyzet is), csak arra kell ügyelni, hogy a "szegély" megmaradó része ne essék két részre. Az nyer, aki utol-jára lép, azaz elveszi a tábla megmaradt (téglalap alakú) részét (ehhez már nem is kell vágni). Kinek van nyerő stratégiája, annak aki kezd, vagy a másiknak?
T. 297 Az ABC háromszög B-nél levő szögének egyik szögharmadolója a C-nél lévő szög egyik szögharmadolóját a háromszög magasságpontjában metszi. Bizonyítsd be, hogy ekkor ugyanezen két szög másik szögharmadolói a körülírt kör középpontjában metszik egymást!
T. 298 Hét biciklis egymáshoz képest kis időkülönbséggel indult el A-ból B-be. Egyikük egy kulacs vizet is vitt magával. Ha az egyikük megelőzött egy másikat, és valamelyiküknél ott volt a kulacs, akkor az mindig átadta a másiknak. Legalább hány előzésnek kellett lennie az út során, ha tudjuk, hogy mindenki ivott közben a kulacsból? (Azok az előzések is számításba veendők, amelyeknél ott se volt a kulacs!)
T. 299 A "kis" dominókészlet 28 dominólapból áll. Mindegyik lap egyik felét befestették, amihez legfeljebb hét színt használtak. Mutassuk meg, hogy ki lehet úgy festeni a dominólapok másik felét, hogy a készlet elemei hét darab négyes csoportba legyenek sorolhatók és az azonos csoportba tartozó lapok színezése egyforma legyen!
T. 300 Ki lehet-e választani az alábbi 1996 törtből hármat, melyek szorzata 1?

... ,

T. 301 El lehet-e helyezni az 1, 2, 3, ..., 20 számokat egy kocka csúcsain és élein úgy, hogy bármelyik élen álló szám az él két csúcsán álló szám átlaga legyen?
T. 302 A sakktábla minden mezőjén két szöcske ül. Egy pillanatban mindegyik szöcske átugrik az egyik (vízszintesen vagy függőleges irányban) szomszédos mezőre úgy, hogy az addig azonos mezőn tartózkodó szöcskék különböző mezőre ugranak. Legfeljebb hány olyan mező lesz, amelyre egy szöcske sem ugrik?
T. 303 Úgy töltöttük ki egy 5×5-ös táblázat 25 mezőjét 25 különböző pozitív egész számmal, hogy az öt sorban az elemek összege egyenlő lett egymással. Lehetséges-e hogy ugyanekkor az öt oszlopban az elemek szorzata is egyenlő egymással
Kiemelt támogatónk 2006-ban:
Tigra Computer
Támogatóink 2003-ban:
Oktatási Minisztérium
Powered by:
Apache + Php + Mysql
Kapcsolat
hraskoa@fazekas.hu
Copyright © 2004-2010 Fazekas Mihály Fővárosi Gyakorló Általános Iskola és Gimnázium. Served by pingvin.