1. feladat (KJ_1925_1fel)
Jelentsen a, b, c, d négy egész számot. Bizonyítsuk be, hogy a
b-a, c-a, d-a,
d-c, d-b, c-b
különbségek szorzata osztható 12-vel.
1. megoldás (KJ_1925_1fel_1mego)
Csak azt kell bebizonyítanunk, hogy a
b-a, c-a, d-a,
d-c, d-b, c-b
különbségek szorzata; amelyet P-vel jelölünk, a 4 =
2
2 és 3 számokkal osztható. Akkor ugyanis P−nek
törzsszámhatványok szorzatára bontott alakja (lásd az
1896-1 feladat és az 1901-3 feladat jegyzetét) a 2
törzsszámnak legalább második hatványát és 3-nak
legalább elsö hatványát tartalmazza, tehát P csakugyan
osztható a 12 = 2
2·3 számmal.
a) Osztályozzuk az egész számokat aszerint; hogy 4-gyel osztva
0, l; 2 vagy 3 maradékot adnak. Ha az
a, b, c, d számok között van
két olyan, amely ugyanabba az osztályba tartozik, akkor ezek
különbsége és vele együtt a P szorzat osztható
4-gyel. Ha pedig
a, b, c, d rendre különbözö osztályokba
tartoznak, akkor a két páratlan számnak, valamint a két
páros számnak különbsége osztható 2-vel. Ekkor
tehát P szintén osztható 4-gyel.
b) Az
a, b, c, d számok között mindenesetre van kettö, amely 3-mal
osztva ugyanazt a maradékot adja. (
Skatulya-elv, lásd az 1906-3 feladat
jegyzetét.) E két számnak különbsége és vele
együtt P osztható 3-mal.
