Árki Tamás és Hraskó András
Kísérletező geometria
Készült a Közoktatási Modernizációs Közalapítvány (KOMA) támogatásával
A létra mozgásának egy lehetséges matematikai modellje a következő: egy (állandó hosszúságú) szakasz mozog egy derékszögű koordináta-rendszerben úgy, hogy a szakasz egyik végpontja az x-tengelyen, másik végpontja az y-tengelyen mozog. Tegyük fel, hogy a mozgás során a szakasz P végpontja az y-tengelyen, Q végpontja az x-tengelyen található. A tengelyek, valamint a P és Q pontok együtt egy téglalapot „feszítenek ki”, amelynek origóval szemközti pontját jelöljük E-vel (asztrois001_01meg_a. ábra). Mivel a téglalap két átlója egyenlő hosszúságú, ezért OE=PQ=a, ami azt is jelenti, hogy az E pont illeszkedik az origó középpontú, a sugarú körre. Ez az észrevétel lehetőséget biztosít az animáció elkészítésére.
A szerkesztés lépései
1. A „létra” hosszának felvétele (a=AB szakasz szerkesztése)
2. Az O pont felvétele
3. Az O kezdőpontú, (x,y) derékszögű koordinátarendszer szerkesztése az O-n átmenő merőleges egyenespár segítségével
4. O középpontú, a sugarú k kör szerkesztése
5. A k körön változó E pont szerkesztése (Euklides-ben az M bázispont körre vonatkozó vetítésével
6. Az E pont merőleges vetítése az y-tengelyre (P), illetve az x-tengelyre (Q)
7. A PQ szakasz szerkesztése (PQ=OE=a)
asztrois001_01meg_a. ábra
|
Az E pont k körön történő futtatásával tanulmányozható a PQ szakasz mozgása. Különösen szép ábrát kapunk, ha a PQ szakaszok seregét egyidejűleg melenítjük meg (asztrois001_01meg_b. ábra). A PQ szakaszok által „burkolt” görbét asztroisnak nevezzük.
|
asztrois001_01meg_b.
ábra. A kép |