Árki Tamás és Hraskó András
Kísérletező geometria
Készült a Közoktatási Modernizációs Közalapítvány (KOMA) támogatásával
Megmutatjuk, hogy a P és Q pontok mértani helye derékszögű hiperbola. Helyezzük az ábrát egy koordináta-rendszerbe úgy, hogy az A, valamint a B pontok koordinátái: és legyen. Mivel az O pont illeszkedik az y-tengelyre, ezért , ahol v tetszőleges valós szám lehet, míg az O középpontú, A-t tartalmazó kör sugara , ezért a kör egyenlete .
nyomvonal001b_01meg_a. ábra
|
Mivel a P és Q pontokat az egyenletű egyenes metszi ki a körből, ezért azok koordinátáit az alábbi egyenletrendszer megoldásai szolgáltatják:
Az egyenletrendszer megoldása után kapjuk, hogy és . Könnyen ellenőrizhető, hogy mind P, mind Q koordinátái kielégítik az
egyenletet, ami valóban egy derékszögű hiperbola egyenlete. Gondolatmenetünk lépései megfordíthatók, azaz a kapott hiperbola minden pontja előáll egy alkalmasan választott kör y-tengelytől való legtávolabbi pontjaként.