BOLYAI JÁNOS FORRADALMA

Surányi László

Üdvözlet az Olvasónak!

Bolyai János a magyar szellem első univerzális jelentőségű lángelméje. Az ő legnagyobb felfedezését, az úgynevezett hiperbolikus geometriát mutatjuk be az itt következőkben.

A feldolgozás módja

Tartalomjegyzék

Köszönetnyilvánítás

A feldolgozás módját két szempont határozta meg:

1. Az alapoktól kezdve akarjuk bemutatni, hogy milyen hatalmas szemléleti forradalomra és szellemi erőre volt szükség ennek az új, az egész matematikát átalakító geometriának a kialakításához. Éppen ezért nem követjük a szokásos utat, amely ennek az új geometriának az euklideszi geometriában (már a felfedezés után) megtalált modeljei alapján okoskodik. Az ilyen felépítés látszólag megkönnyíti ugyan a tájékozódást, de nem mond semmit arról a hatalmas átalakulásról, amire az új létrehozásához szükség volt.

2. Olyan feldolgozást adunk, amely gimnáziumi tudást feltételez, az egyetlen kivétel az úgynevezett Dedekind-szelet, ezt külön ismertetjük. Éppen ezért nem követjük Bolyai Appendix-ének a felépítését sem: ez igen tömör és sok részletet magától értetődőnek vesz, amibe érdemes részletesen belemenni.

3. Axiomatikus pontosságra törekszünk, de ahol ez a lendületet zavarná, ott a részleteket külön tárgyaljuk. Az axiómákat külön fájlban is összeállítottuk, de első olvasáskor nem érdemes előre elolvasni őket: a felépítés első részében éppen azt mutatjuk be, hogy miért pont ezekre az axiómákra van szükség!

4. Számtalan feladat közbeiktatásával haladunk, ezek megoldása a feladat szövege alatt álló „MEGOLDÁS” szóra kattintva érhető el. Azokra tekintettel tettünk így, akik kiváncsiak a továbbiakra, de a feladaton később szeretnének gondolkozni. Néhol ötletet is külön adunk, ezt a feladat alatt álló „ÖTLET” szóra kattintva lehet elérni.

5. Azokat a tételeket és feladatokat, amelyek csak a hiperbolikus geometriában igazak, (B)-vel jelöltük, a csak az euklideszi geometriában igazakat pedig (E)-vel. A mindkét geometriában érvényes úgynevezett „abszolút” tételeket és feladatokat nem jelöltük külön jellel.

Köszönetnyilvánítás

Itt szeretnék köszönetet mondani HRASKÓ ANDRÁSNAK, a Fővárosi Fazekas Mihály gimnázium tanárának, valamint PACH PÉTER PÁLNAK, a gimnázium 2004-ben végző diákjának a kézirat figyelmes átolvasásáért és a sok hasznos megjegyzésért, amellyel munkámat segítették. Tanácsaik sokat segítettek a végleges szöveg pontosabbá tételében. A még maradt hibákért természetesen engem terhel a felelősség.

Tartalomjegyzék

Bevezető

1. fejezet A BOLYAI-féle forradalom szellemi jelentősége
Ebben a fejezetben a Bolyai-Lobacsevszkij féle geometriai forradalom mélyebb szellemi jelentőségéről beszélünk röviden. Linkek mutatnak olyan web-helyekre, ahol erről bővebben is szó van.

2. fejezet Az ismerkedés lehetséges útjai
Itt van leírva, hogy miért nem a szokásos utakat követjük. Egy, az elmúlt 25 évben többszörösen kipróbált új utat járunk. Ennek lényege, hogy egyrészt az axiomatizálás folyamatát bemutassuk, másrészt jól megértessük, milyen szellemi erőfeszítést jelentett elszakadni a régi (euklideszi) szemlélettől. Az első, de legnehezebb lépéseket alaposan kielemezzük.

I. RÉSZ

3 fejezet A párhuzamossági axióma és a nem-metsző egyenesek
Először is ismertetjük az euklideszi axióma eredeti, euklideszi megfogalmazását és annak (ma közismertebb) Ptolemaiosztól származó átfogalmazását. Ezután megmutatjuk, hogy a nem-metsző egyenes létezése viszont e nélkül az axióma nélkül is bizonyítható: 1. tétel. Sőt: a bizonyítás részletes elemzéséből kiderül, hogy ennek a tételnek a bizonyításához szinte minden axiómára szükség van. Így tehát fény derül arra is, miért pont azokat az axiómákat használjuk, amelyeket a HILBERT nevével fémjelzett felépítés használ. Az axiómák külön is fel vannak sorolva. (Mint fent már említetttük: azt ajánljuk, hogy ezt az összesítést csak a 3. fejezet elolvasása UTÁN használjuk! Ha előbb használjuk, elvész az egész fejezet lényege.) Kiderül, hogy a félsík és a szög(tartomány) definíciója, vagy a szögek közötti kisebb-nagyobb reláció definíciója nem is olyan egyszerű!

4. fejezet. Mit használhatunk, ami nem inog? A) Az egybevágóság alapesetei
Először a háromszög egybevágóságának alapeseteivel foglalkozunk. Egy meglepetés van: az egy oldal és a rajta fekvő két szög esetében óvatosabban kell fogalmaznunk: 4. tétel. Utána a szögek és oldalak nagyságára vonatkozó ismert tételek következnek: egyenlő szárú háromszögben az alapon fekvő szögek egyenlők és fordítva: 5. tétel. Az is igaz, hogy nagyobb oldallal szemben nagyobb szög van (6. tétel), de ennek bizonyítása már sokkal problémásabb, el is halasztjuk, hogy legyen idő gondolkozni: mi okozza a bonyodalmat. Előbb bebizonyítjuk egy következményét: a háromszögegyenlőtlenséget: 7. tétel. Ezután rátérünk a 6. tétel bizonyítására: bemutatjuk Euklidész bizonyítását arra az állításra, hogy a háromszög külső szöge nagyobb a nem mellette fekvő belső szögnél: 8. tétel. Megkeressük ennek gyenge pontjait és kiderül: először szükségünk van a szakasz felezőpontjának, felezőmerőlegesének és a szög szögfelezőjének megszerkesztésére, erről szól a következő fejezet:

5. fejezet Szakasz felezőpontja, felezőmerőlegese, szögfelező„Nehezebben találkoznak az egyenesek”, Alapszerkesztések
Ebben a fejezetben tehát megszerkesztjük a szakasz és a szög felezőjét és a szakasz felezőmerőlegesét és befejezzük a 6. tétel bizonyítását.

6. fejezet A 8. tételre adott euklideszi bizonyítás utóélete
Érdekes a „nagyobb szöggel szemben nagyobb oldal van” tétel euklideszi bizonyításának utóélete is. Már az is figyelemre méltó, hogy maga Euklidész nem használja ehhez a párhuzamossági axiómát: abból kijönne az is, hogy a háromszög külső szöge egyenlő a két nem mellette fekvő belső szög összegével (következésképp a háromszög szögeinek összege 180°). Később észrevették, hogy e bizonyítás kicsit továbbfejlesztve a párhuzamossági axióma nélkül is kiad valamit: azt, hogy a háromszög szögösszege legfeljebb 180° lehet. 10. tétel.

7. fejezet A háromszög egybevágóságának alapesetei – befejezés, Az egybevágósági transzformációk
Befejezzük a háromszög egybevágóságának alapeseteit (11. tétel), utána pár egyszerű feladat következik az eddigiekhez: az egybevágósági transzformációk ismert tulajdonságairól: 9. feladat, a 10. feladat tárgyalja az egybevágóságok összetevését tengelyes tükrözésekből.

8. fejezet Mi nem inog? B) A háromszög geometriája
B1) A háromszög beírt köre és a szögfelező alaptulajdonsága (13. tétel, és 14. tétel)
B2) A háromszög köré írt körről egyenlőre csak annyit mutatunk meg, hogy a Bolyai-Lobacsevszkij-féle, úgynevezett hiperbolikus geometriában nem mindig létezik, azaz nem minden háromszög köré írható kör.
B3) A magasságpontról külön fájlban bizonyítjuk, hogy hegyesszögű háromszögben mindig létezik.
Megjegyezzük, hogy bár a súlyvonalak nem harmadolják egymást, minden háromszögnek van súlypontja. Ennek bizonyítása nagyon nehéz, itt nem részletezzük.

9. fejezet Összefoglalás
Szemléletesen szólva az a különbség az euklideszi geometriához képest, hogy nehezebben találkoznak az egyenesek, mert ‘több’ a nem-metsző egyenes! Tömören összefoglaljuk, mi használható és mi nem használható a megszokott bizonyító eszközeink közül.

10. fejezet A háromszög szögösszege
Wallis észrevételéből indulunk ki, amely szerint abból, hogy van két hasonló, de nem egybevágó háromszög, már következik, hogy van olyan háromszög is, amelyben 180° a szögösszeg. A 16. tétel azt mondja ki, hogy ha van egy háromszög, amelyben 180° a szögösszeg, akkor minden háromszögben 180° a szögösszeg. Vagyis csak két eset lehetséges: vagy minden háromszögben 180° a szögösszeg, vagy minden háromszögben kisebb a szögösszeg 180°-nál (mint látni fogjuk, ekkor akármilyen kis szögösszegű háromszög is van). A 17. tétel pedig azt mondja ki, hogy ha Ha van olyan háromszög, amelyben 180° a szögösszeg, akkor igaz Ptolemaiosz axiómája. Befejezésül pár olyan feladat következik, amely mind az euklideszi, mind a hiperbolikus geometriában érvényes (az ilyen állításokat Bolyai nyomán „abszolút” állításoknak nevezzük): 12-14. feladat

II. RÉSZ

11. fejezet A távolságvonal Az első részben csupa olyan ábra szerepelt, amely euklideszi, a furcsaság csak az volt, hogy néha bizonyítani kellett egyébként magától értetődőnek tekintett állításokat, néha pedig nem tudtunk bizonyítani egyébként magától értetődőnek vélt állításokat. Ez az első olyan fejezet, ahol olyan alakzattal ismerkedünk meg, amely teljesen új az euklideszi geometriához képest: a távolságvonallal, majd bebizonyítjuk, hogy két egyenes közös merőlegese (mindkét irányban) „távolodik egymástól”: 18. tétel. Ennek alapján definiáljuk a távolságvonal érintőjét is és a 19. tételben belátjuk, hogy külső pontból két távolságvonal húzható a távolságvonalhoz és az érintőszakaszok egyenlők.

12. fejezet Az elválasztó tételek
Elválasztó tételnek az olyan tételeket nevezzük, amelyek az egyik geometriában igazak, a másikban a tagadásuk igaz. Ha ezek valamelyike igaz, akkor az euklideszi axióma következik belőle, a tagadásából viszont a Bolyai-Lobacsevszkij-féle axióma következik.Nevezik „helyettesítő tételeknek” is, hiszen bármelyikükkel helyettesíthető a párhuzamossági axióma. Valójában már több ilyet is találtunk (a szögösszegre vonatkozó tételt, a háromszög köré írható körre vonatkozó tételt, a távolságvonal egyenes- vagy nem egyenesvoltára vonatkozó tételt). Az ilyen tételeket foglaljuk össze egy táblázatban.

13. fejezet A párhuzamosság definíciója, párhuzamossági szög és távolság, ultraparalel egyenesek
Először definiáljuk kimondjuk a hiperbolikus síkon érvényes párhuzamossági axiómát, a párhuzamosság fogalmát a hiperbolikus geometriában. Az új párhuzamosság definíciójának több „furcsasága” is van (például egy adott egyenessel egy rajta kívül levő pontból a két irányban a két párhuzamos különböző), ezért nehezebb bebizonyítani a párhuzamosság magától értetődőnek tekintett alaptulajdonságait. Ezeket nagyobb részt külön fájlban tárgyaljuk. A 20. tétel segítségével definiáljuk a korrespondáló pontpár fogalmát, bebizonyítjuk, hogy párhuzamos egyenespárnak van szimmetriatengelye (21. tétel), vagyis sávfelező párhuzamosa. Definiáljuk az irány fogalmát. Ezután következik a párhuzamosságra vonatkozó két legfontosabb definíció: a párhuzamossági távolság és a párhuzamossági szög. A monotonitásukról szóló 16. feladat után rátérünk az ultraparalel egyenesekre. Ezeknek van közös merőlegese (23. tétel), s ebből már következik, hogy bármely két egyenesnek van szimmetriatengelye (24. tétel).

14. fejezet A körüljárástartó egybevágóságok – I.
Ebben a rövid fejezetben a két tengelyes tükrözés összetételeként kapható egybevágósági transzformációkkal foglalkozunk. Az euklideszi síkkal ellentétben (ahol a forgatások és az eltolások ilyenek) a hiperbolikus síkon három fajtája van (annak megfelelően, hogy három féle egyenespár van: metsző, párhuzamos és ultraparalel).

15. fejezet A háromszög köré írható uniform görbék; a paraciklus
A paraciklus definíciójához be kell látnunk, hogy a „korrespondáló pontpár” ekvivalencia-reláció (21. feladat), ami ekvivalens azzal (20. feladat), hogy ha egy háromszög három oldalfelezője közül kettő párhuzamos, azaz egy irányú, akkor mindhárom egy irányú. Ehhez először szükségünk van arra, hogy ha egy háromszög két oldalfelezője ultraparelel, akkor mindháromnak van közös merőlegese: 25. tétel. A 27. tétel azt mondja ki, hogy a hiperbolikus síkon mi igaz a köré írt körre vonatkozó tétel helyett: bármely három ponton megy át vagy egyenes, vagy kör, vagy paraciklus vagy távolságvonal (hiperciklus).

16. fejezet A párhuzamossági szög – II.
A 28., 29. és 30. tétel szerint tetszőleges hegyesszöghöz van párhuzamossági távolság, s ezért bármely két nem párhuzamos egyeneshez van olyan egyenes, amely az egyik irányban az egyikkel, a másik irányban a másikkal párhuzamos. Ezt úgy is szokás fogalmazni, hogy bármely két irányt „köt össze” egy valódi egyenes. A 22. feladat annak bizonyítását kívánja, hogy d(60°)-nál nagyobb sugarú kör köré nem írható háromszög(!), a d(60°) sugarú köré pedig csak úgynevezett háromszorosan aszimptotikus háromszög írható.

17. fejezet Egyenesek egymáshoz való viszonya
Megmutatjuk, hogy metsző egyenesek és ultraparalel egyenesek vetülete egymáson szakasz. Ezzel szemben a párhuzamos egyenesek vetülete egymáson nem szakasz, hanem félegyenes. A párhuzamos egyenesek a párhuzamosság irányában „aszimptotikus egyenesek”, azaz ha az egyiken fut egy pont a végtelenbe, annak a másik egyenestől vett távolsága tart a nullához. A 32. tétel pedig kimondja, hogy Bármely két párhuzamos sáv egybevágó és kiegészíthető háromszorosan aszimptotikus háromszöggé. Bármely két háromszorosan aszimptotikus háromszög egybevágó. A 30. feladat szerint bármely más háromszög „elfér benne.

18. fejezet A paraciklus új definíciója; HILBERT bizonyítása a 28. tételre
A paraciklus új definíciója („végtelen sugarú kör”) után definiáljuk az egyszeresen és kétszeresen aszimptotikus háromszögeket, s ennek segítségével bemutatjuk Hilbert szép bizonyítását a 28. tételre.

19. fejezet További feladatok
Mint címéből is kiderül, ez a fejezet további feladatokat tartalmaz, összesen 11-et.

20. fejezet A háromszög területe és a defektus
A háromszög területe „additív függvény”, ugyanígy a szögdefektusa is. Ennek alapján, továbbá annak a meglepő észrevételnek alapján, hogy az egyszeresen aszimptotikus háromszögek területe véges (33. tétel), ismertetjük a következők bizonyítását (34. tétel): A háromszorosan aszimptotikus háromszög területe véges. Ha ezt a területet T0-vel jelöljük, akkor egy tetszőleges aszimptotikus vagy véges háromszög területe T0d/180°, ahol d a háromszög defektusát jelöli, azaz d=180°–abg, ahol a, b, g a háromszög szögeit jelöli. Ha két oldal párhuzamos (aszimptotikus háromszögben), akkor az általuk bezárt szöget nullának vesszük.