Legyen $P$ az $ABC$ szabályos háromszög belső pontja. $P$ merőleges vetülete a $BC, CA$ és $AB$ oldalakra rendre $A_1, B_1$ és $C_1$ . Tudjuk, hogy $AC_1=4$ , $C_1B=8$ és $BA_1=5$ . Mennyi $CB_1\cdot B_1A$ ?
 
Végeredmény: 27
Mivel $ABC$ szabályos, $BC = CA = AB = 12$ . Azt is tudjuk, hogy $AC_1 + BA_1 + CB_1 = 18 = \frac {3 \cdot 12}2$ . Ez igaz akkor, ha pl. $P = O$ , a háromszög középpontja, és ha $P$ más pont, akkor az összeg $\overrightarrow{PO}\cdot (\overrightarrow{AB}^0 + \overrightarrow{BC}^0 + \overrightarrow{CA}^0) = \overrightarrow{PO}\cdot \overrightarrow{0} = 0$ -val változik, ahol $\overrightarrow{v}^0 = \frac{\overrightarrow{v}}{|\overrightarrow {v}|}$ . Tehát $CB_1 = 9$ és $B_1A = 3$ , melyek szorzata $ 27$ .
2. Megoldás
Húzzunk az $ABC$ háromszög oldalaival párhuzamosokat $P$ -n át. Így $P$ és az $ABC$ háromszög oldalai között szabályos háromszögeket kapunk, $P$ -től az $A$ , $B$ , $C$ csúcsok felé pedig paralelogrammák jönnek létre. Jelölje e kis szabályos háromszögek oldalának hosszát rendre $\alpha$ , $\beta$ és $\gamma$ , tehát
Ezekből meghatározható $\alpha$ , $\beta$ és $\gamma$ értéke és adódnak $CB_1=\alpha+\frac{1}{2}\beta$ , $B_1A=\gamma+\frac{1}{2}\beta$ értékei.