$\prod_{k=2}^{100} \frac{k^3+1}{k^3-1}=\frac{p}{q}$
Adjuk meg $p+q$ értékét, ha $p$ és $q$ relatív prím pozítív egészek.
Végeredmény: 8417
Ismeretes, hogy
$k^3+1=(k+1)(k^2-k+1),\qquad k^3-1=(k-1)(k^2+k+1)$
és
$k^2-k+1=(k-1)^2+(k-1)+1,$
tehát
$\prod_{k=2}^{100} k^3+1=\left(\prod_{k=3}^{101} k\right)\cdot \left(\prod_{k=1}^{99} k^2+k+1\right)$
és
$\prod_{k=2}^{100} k^3-1=\left(\prod_{k=1}^{99} k\right)\cdot \left(\prod_{k=2}^{100} k^2+k+1\right),$
így a kérdezett hányados
$\prod_{k=2}^{100} \frac{k^3+1}{k^3-1}=\frac{100\cdot 101}{1\cdot 2}\cdot\frac{1^2+1+1}{100^2+100+1}=\frac{5050}{3367}$
Ez nem egyszerűsödik tovább, mivel $GCD(5050,3367) | GCD(10100,10101) = 1$ . Tehát a válasz $ 5050+3367 = 8417$ .