Kavics Kupa 2013 6. feladat
(Feladat azonosítója: kk_2013_06f )
Témakör: *Geometria (terület)

Az $A_1A_2A_3A_4$ egységnégyzet oldalain felvesszük a $B_1, B_2, B_3$ és $B_4$ pontokat úgy, hogy $B_i$ az $A_iA_{i+1}$ szakaszon legyen (ahol természetesen $A_5=A_1$ ) és $A_iB_i=\frac{1}{n}$ teljesüljön. Mi az a legkisebb $n$ egész, amire az $A_1B_2, A_2B_3, A_3B_4$ és $A_4B_1$ egyenesesek által meghatározott négyzet területe legalább 0.9?

Végeredmény: 20

Feltesszük, hogy $n\ge 2$ ; $n=1$ -re a négy egyenes egy ponton megy át (a terület 0). Legyen az $A_iB_{i+1}$ és az $A_{i+1}B_{i+2}$ metszéspontja $C_{i+1}$ (ciklikus számozás). Ekkor az ábrán rengeteg hasonló derékszögű háromszög lesz, pl. $A_2B_2A_1 \sim C_2A_2A_1 \sim C_1B_1A_1$ . Ezeket felhasználva:

$\frac {A_1C_2}{A_1A_2} = \frac {A_1A_2}{A_1B_2}$

$A_1C_2 = \frac {A_1A_2^2}{A_1B_2} = \frac{1^2}{\sqrt{1+\frac 1 {n^2} } } = \frac n {\sqrt{n^2 + 1}}$

$\frac {A_1C_1}{A_1B_1} = \frac {A_1A_2}{A_1B_2}$

$A_1C_1 = \frac {A_1B_1 \cdot A_1A_2}{A_1B_2} = \frac{\frac 1n \cdot 1}{\sqrt{1+\frac1 {n^2}}} = \frac 1 {\sqrt{n^2 + 1}}$

Ebből a négyzet oldalhossza:

$C_1C_2 = A_1C_2 - A_1C_1 = \frac {n-1}{\sqrt{n^2+1}}$

A négyzet területe:

$A(C_1C_2C_3C_4) = C_1C_2^2 = \frac{(n-1)^2}{n^2+1} = 1 - \frac{2n}{n^2+1}$

Azt az $n$ -et keressük, amire:

$\frac{2n}{n^2+1} \le \frac 1{10}$

$n^2-20n+1 \ge 0$

$n \ge 10 + \sqrt{10^2-1} = 19,9\dots$

Tehát a legkisebb megfelelő $n$ érték $ 20$ .