Kavics Kupa 2013 9. feladat
(Feladat azonosítója: kk_2013_09f )
Témakör: *Algebra (irracionális)

Adjuk meg $\lfloor 100xy\rfloor$ értékét, ha $x$ és $y$ olyan racionális számok, amelyekre

$\sqrt{2\sqrt{3}-3}=\sqrt{x\sqrt{3}}-\sqrt{y\sqrt{3}}.$

Végeredmény: 75

Négyzetreemelés és rendezés után

$ (x+y-2)\sqrt{3}=2\sqrt{3xy}-3 $

majd újra négyzetre emelve kapjuk, hogy

$ 3(x+y-2)^2=9+12xy-12\sqrt{3xy}. $

Ebből az összefüggésből világos, hogy $\sqrt{3xy}$ racionális, így $\sqrt{3}$ irracionalitása miatt

$(x+y-2)=0\qquad \'es \qquad 2\sqrt{3xy}-3=0.$

A második egyenletből azonnal adódik, hogy $xy=\frac{3}{4}$ , tehát a kérdezett érték $ 75$ . Amúgy a kiindulási egyenlet bal oldala pozitív, így a jobb oldala is az, tehát $x>y$ . Ezért a fenti szimmetrikus egyenletrendszerből csak az $x=\frac{3}{2}$ , $y=\frac{1}{2}$ a jó megoldás és ez az is, hiszen $x>y$ esetén az eredeti egyenlet mindkét oldala pozitív, tehát a négyzetre emelés ekvivalens átalakítás.