Egy téglatest minden éle és testátlója egész hosszúságú méterben mérve. Tudjuk, hogy a téglatestnek pontosan annyi  $m^2$  a felszíne, mint ahány  $m^3$  a térfogata. Határozzuk meg a testátló lehetséges legnagyobb hosszát.

Végeredmény: 21

A  $ 2(xy+yz+zx)=xyz$  egyenlet

alakba írható át. Feltehető, hogy  $x \le y \le z$  , ebből  $ 3 \le x \le 6$  . Innen könnyű összeírni az eseteket. Amúgy rögzített  $x$  -re egy  $ayz = b(y+z)$  , avagy  $(ay-b)(az-b) = b^2$  alakú diofantikus egyenletet kapunk, ami  $b^2$  faktorizálásával is megoldható. A véges sok megoldás:  $(6,6,6)$  ,  $(5,5,10)$  ,  $(4,8,8)$  ,  $(4,6,12)$  ,  $(4,5,20)$  ,  $(3,12,12)$  ,  $(3,10,15)$  ,  $(3,9,18)$  ,  $(3,8,24)$  ,  $(3,7,42)$  . Csak a három  $x = 4$  esetben négyzetszám a négyzetösszeg, az utolsónál maximális.