Kavics Kupa 2013 19. feladat
(Feladat azonosítója: kk_2013_19f )
Témakör: *Kombinatorika (számegyenes)

Az 1,2,3, ..., 8 számokat véletlenszerűen párokba rendeztük. A számegyenesen összekötjük a párok tagjait, így 4 szakaszt kapunk. Mennyi a valószínűsége, hogy ezek közt lesz olyan, ami az összes többit metszi? Adjuk meg a kapott valószínűség  $ 2310$  -szeresének egész részét!



 

Végeredmény: 1540

 

 $ 4$  ,  $ 6$  és  $ 8$  szám esetén is  $\frac{2}{3}$  jön ki a valószínűségre bogarászással. Ez az általános eredmény is, amit jóval nehezebb igazolni.

 

Részletesebben: Egy szakasz pontosan akkor találkozik mindegyik másikkal, ha mindegyik a kezdőpontja után végződik és a végpontja előtt kezdődik. Tehát akkor ,,rossz'' egy összekötés, ha az első végpont megelőzi az utolsó kezdőpontot, és nincs ,,híd'', ami mindkettőt lefedi. Könnyebb összeszámolni a ,,rossz'' párosításokat. Összesen  $ 7\cdot 5 \cdot 3 \cdot 1 =105$  párosítás van. A következő táblázat mutatja, hogy adott utolsó kezdőpont (oszlopok) és első végpont (sorok) esetén hány rossz párosítás van; az összeg valóban  $ 35$  , az összes lehetőség harmada.

  4 5 6 7
2   6 6 3
3     8 6
4       6
5