Aladár, Béla és Cili játszanak. Aladárnak  $ 15$  , Bélának  $ 17$  , Cilinek  $ 20$  dollárja van. Egy menetben véletlenszerűen kiválasztanak két olyan játékost, akinek még van pénze és azok egymással játszanak.  $ 50-50\%$  , hogy egyikük illetve másikuk nyer. A vesztes  $ 1$  dollárt ad a győztesnek. Akinek elfogy a pénze, ez kiesik. Addig tart a játék, amíg egyikük elnyeri az összes pénzt. Átlagosan hány menetből áll a játék?

Végeredmény: 895

Két játékos esetén, kiknek kezdetben  $a$  illetve  $b$  dollárjuk van, a játék várható hossza  $ab$  , három esetén, ha a harmadiknak  $c$  dollárja van  $ab+bc+ca$  . Ezt könnyű igazolni a felírható egyenletrendszerrel.

I. Megjegyzés

Az előző megoldásban tényleg könnyű igazolni a Markov-láncnak megfelelő egyenleteket, bár a teljesen szigorú bizonyításhoz még kell egy kis munka: be kell látni, hogy minden várható érték véges (ez egyszerű), és hogy az egyenletrendszer megoldása egyértelmű (kis lineáris algebra). További kérdés, hogy hogyan fogjuk megsejteni az eredményt. Ha ismerjük a választ 2 játékossal, akkor a következő gondolatmenet kiküszöböli a ,,vegyük észre, hogy''-ot. Nézzük a játékot Aladár szemszögéből. őt nem érdekli, hogy Béla és Cili közül kinek mennyi pénze van, csak az, hogy neki, ill. ellenfeleinek összesen mennyi van. Kezdetben  $a$  van neki és  $b+c$  az ellenfeleinek. Mikor Béla és Cili játszik, Aladár kávészünetet tart; őt csak az érdekli, hogy neki hányat kell várhatóan játszania a játék végéig. Erre már tudjuk a választ: Aladár játékainak várható száma  $EX_A = a(b+c)$  . Hasonlóan  $EX_B = b(a+c)$  és  $EX_C = c(a+b)$  . Mivel minden játékban ketten játszanak, az összes játékok száma  $X = \frac {X_A + X_B + X_C}2$  , tehát várhatóan  $EX = \frac {EX_A + EX_B + EX_C}2 = ab + ac + bc$  . Hasonló képletet kapunk a játék átlagos hosszára  $n$  játékos esetén is.

II. Megjegyzés

Az  $a+b+c = N$  síkon lényegében a diszkretizált hőegyenletet oldjuk meg; ha orthonormált koordinátákat veszünk fel ezen a síkon, akkor a  $\sqrt 2$  rácsállandójú háromszögrács pontjaira felírt ,,diszkrét Laplace-operátorral''  $\Delta f = -\frac 12$  konstans. Ebből kitalálható, hogy a megoldást  $f(\mathbf x) = K - \frac 12 (\mathbf x - \mathbf{x}_0)^2$  alakban kell keresni;  $\mathbf {x}_0$  nyilván a középpont,  $K$  pedig annyi, hogy a háromszög sarkaiban pont  $ 0$  legyen a várható érték.