Legyen $f(x)=\left\{ {{\begin{array}{*{20}c} {\sin \,\,\pi x,}{\mbox{ha }x<0} \\ {f(x-1)+1,}{\mbox{ha }x\ge 0} \\ \end{array} }} \right.$ és $g(x)=\left\{ {{\begin{array}{*{20}c} {\cos \,\,\pi x,}{\mbox{ha }x<1/2} \\ {g(x-1)+1,}{\mbox{ha }x\ge 1/2} \\ \end{array} }} \right.$

Oldjuk meg az $f(x)=g(x)$ egyenletet!

Célszerű a feladatot grafikus módszerekkel megoldani. Először külön koordináta-rendszerben ábrázoljuk az $f$, majd $g$ függvény grafikonját ($ 1.$ és $ 2.$ ábra). @{\#}kep:\underline {\textcolor{blue}{OK{\_}1981{\_}2ford{\_}SP1{\_}2fel{\_}1mego{\_}a.cdr}}{\#}@ @{\#}kep:\underline {\textcolor{blue}{OK{\_}1981{\_}2ford{\_}SP1{\_}2fel{\_}1mego{\_}b.cdr}}{\#}@ Közös koordináta-rendszerben ábrázolva a két függvény grafikonját, leolvasható a megoldás ($ 3.$ ábra). A megoldás: $x=\frac{1}{4}-k\,\,(k=1,\,\,2,\,\,3,\,\,\ldots )$ és $x=l\,\,(l=0,\,\,1,\,\,2,\,\,3,\,\,\ldots )$. @{\#}kep\underline {\textcolor{blue}{OK{\_}1981{\_}2ford{\_}SP1{\_}2fel{\_}1mego{\_}c.cdr}}{\#}@ Ezek ellenőrizhetően gyökei az $f(x)=g(x)$ egyenletnek, ezen kívül más gyökei nincsenek. (Ez utóbbi kijelentést a szemlélet alapján fogadjuk el.)

2. Megoldás

$a)$ Legyen $x<0$, akkor $f(x)=\sin \,\,\pi x$, $g(x)=\cos \,\,\pi x$, az $f(x)=g(x)$ egyenlet pedig $\sin \,\,\pi x=\cos \,\,\pi x$ ($\cos \,\,\pi x\ne 0$, mert akkor nem lehetnének egyenlők, hiszen nincs olyan $\alpha $, amelyre $\sin \,\,\alpha =\cos \,\,\alpha =0)$. Innen $\mbox{tg }\pi x=1$, vagyis $x=1/4+k$. Ezek közül nekönk az $x<0$ feltétel mellett csak az

gyökök jók. $b)$ Legyen $ 0\le x<1/2$, ekkor $f(x)=f(x-1)+1=\sin \,\,\pi (x-1)+1$, $g(x)=\cos \,\,\pi x$, az $f(x)=g(x)$ egyenlet pedig

Az ismert addiciós-tétel alkalmazásával az egyenlet (2) $\sin \,\,\pi x+\cos \,\,\pi x=1$ alakra hozható. Ez ekvivalens az

egyenletekkel. Innen $\frac{\pi }{4}+\pi x=\frac{\pi }{4}\pm 2n\pi ,$ ahol $n=0,\,\,1,\,\,2\,\,\ldots $ illetve

azaz $x=\pm 2n,$ illetve $x=\frac{1}{2}\pm 2n$. A $ 0\le x<1/2$ feltétel miatt csak az $x=0$ gyök felel meg. $c)$ Legyen $ 1/2\le x<1$, akkor $f(x)=\sin \,\,\pi (x-1)+1$, $g(x)=\cos \,\,\pi (x-1)+1$, az $f(x)=g(x)$ egyenlet pedig

Ennek megoldása a valós számok halmazában

Feltételünk miatt tehát elmondhatjuk, hogy az $[1/2;\,\,1)$ intervallumban nincs megoldás. $d)$ Mivel mind az $f$, mind a $g$ érékeit az [1; 2), [2; 3), [3; 4) stb. intervallumokban ugyanazon utasítás szerint számoljuk ki a [0; 1) intervallumon felvett függvényértékekből (a [0; 1) intervallum megfelelő helyén felvett függvényértékekehez kell az 1, 2, 3 stb. természetes számokat hozzáadnunk), ezért $ 1\le x$ értékek esetében is csak az egész számok adják az eredeti egyenlet megoldását. Összefoglalva: az $a)-d)$ pontok alapján egyenletünk megoldása: $x=\frac{1}{4}-k\,\,(k=1,\,\,2,\,\,3,\,\,\ldots )$ és $x=l\,\,(l=0,\,\,1,\,\,2,\,\,3,\,\,\ldots )$.
Megjegyzés: Az I. megoldás, minthogy a szemléletre hagyatkozik, ami mögött ugyan helytálló ismeretek is állhatnak, ingatag alapokon áll, szemben a II. megoldással, mely semmiféle hézagot nem hagy a bizonyításban. A versenyzők dolgozatának értékelésekor nyilvánvaló előnyt élvez a feladat egzakt bizonyítása, aszemben a "látjátuk feleim szümtükkel"-féle bizonykodással. (Vö. az Arany Dániel verseny 1980. évi első fordulójában a kezdőknek kitűzött első feladat második megoldásához fűzött megjegyzéssel!)