Vegyes feladatok: VF_001595
(Feladat azonosítója: VF_001595 )
Témakör: *Algebra

Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenlőtlenséget!

$ \log _2 \left( {\log _3 \frac{x-1}{x+1}} \right)<\log _{\frac{1}{2}} \left( {\log _{\frac{1}{3}} \frac{x+1}{x-1}} \right). $

 

Az $\frac{x-1}{x+1}$, illetve az $\frac{x+1}{x-1}$ törtek csak akkor értelmezhetők, ha $x\ne \pm 1$. Továbbá szükséges, hogy mindkét tört pozitív legyen, mert csak pozitív számnak van logaritmusa.

$ \frac{x-1}{x+1}>0, $

ha $x>1$ vagy $x<-1$, azaz $\left| x \right|>1$. Az $\left| x \right|>1$ számhalmazon az $\frac{x+1}{x-1}>0$ feltétel is teljesül. Tehát, ha $\left| x \right|>1$, akkor a $\log _3 \frac{x-1}{x+1}$ és az $\log _{\frac{1}{3}} \frac{x+1}{x-1}$ mindegyike létezik. Tovább vizsgálva az egyenlőtlenséget, meg kell követelni, hogy

$ \log _3 \frac{x-1}{x+1}>0 $

és

$ \log _{\frac{1}{3}} \frac{x+1}{x-1}>0 $

mindegyike teljesüljön. Mivel -ben a logaritmus alapja 1-nél nagyobb, ezért akkor teljesül, ha $\frac{x-1}{x+1}>1,\mbox{ }$azaz ha$\mbox{ }\frac{-2}{x+1}>0$. Ennek megoldása: $x<-1$. Mivel -ben a logaritmus alapja 0 és 1 közé eső szám, ezért akkor teljesül, ha

$ 0<\frac{x+1}{x-1}<1. $

Ezért egyrészt $\frac{x+1}{x-1}>0,\mbox{ }$amiből$\mbox{ }\left| \mbox{x} \right|>1$. Másrészt $\frac{x+1}{x-1}<1,\mbox{ }$és ebből$\mbox{ }x<1$. Tehát megoldása: $x<-1$. Összefoglalva: és egyenlőtlenség közös megoldása $x<-1$ A továbbiakban vegyük figyelembe, hogy

$ \log _{\frac{1}{3}} \frac{x+1}{x-1}=-\log _3 \frac{x+1}{x-1}=\log _3 \frac{x-1}{x+1} $

Legyen $\log _3 \frac{x-1}{x+1}=u$. Ekkor

$ \log _{\frac{1}{2}} u=-\log _2 u=\log _2 \frac{1}{u}; $
$ \log _{\frac{1}{2}} u=\log _2 \left( {\frac{1}{\log _3 \frac{x-1}{x+1}}} \right), $

A feltételek mellett -ban azonos átalakításokat végeztünk. Ezért az eredeti egyenlőtlenség a következő alakban írható:

$ \log _2 \left( {\log _3 \frac{x-1}{x+1}} \right)<\log _2 \left( {\frac{1}{\log _3 \frac{x-1}{x+1}}} \right) $

ahol a korábbi vizsgálatok szerint szükséges, hogy $x<-1$ legyen. pontosan akkor igaz, ha

$ \log _3 \frac{x-1}{x+1}<\frac{1}{\log _3 \frac{x-1}{x+1}} $

Mert a 2-es alapú logaritmus függvény szigorúan monoton növekvő. miatt a következőképpen is írható:

$ \left( {\log _3 \frac{x-1}{x+1}} \right)^2<1 $

és mivel szerint $\log _3 \frac{x-1}{x+1}>0$, azért -tal a következő kettős egyenlőtlenség ekvivalens:

$ 0<\log _3 \frac{x-1}{x+1}<1; $

mivel a 3-as alapú logaritmus szigorúan növekedő, azért

$ 1<\frac{x-1}{x+1}<3. $

-nél a bal oldali egyenlőtlenség akkor igaz, ha

$ x<-1 $

A jobb oldali egyenlőtlenség akkor igaz, ha

$ \frac{x-1}{x+1}-3<0, $

azaz, ha

$ \frac{2\left( {x+2} \right)}{x+1}>0. $

megoldása $x>-1$ vagy $x<-2$. és közös megoldása, azaz megoldása $x<-2$. Mivel a feltételek mellett ekvivalens átalakításokat végeztünk, azért $x<-2$ az eredeti egyenlőtlenség megoldását adja.

 

2. Megoldás

a) Vegyük észre először, hogy $\frac{x-1}{x+1}$ és $\frac{x+1}{x-1}$ egymás reciprokai, ezért érdemes bevezetni az $u=\frac{x-1}{x+1}$ jelölést. Ekkor az egyenlőtlenség így írható:

$ \log _2 \left( {\log _3 u} \right)<\log _{\frac{1}{2}} \left( {\log _{\frac{1}{3}} \frac{1}{u}} \right), $

ahol természetesen kell, hogy

$ u>0 $

legyen. b) Alkalmazzuk az $\log _{\frac{1}{a}} \frac{1}{b}=\log _a b$ (ismert, illetve könnyen igazolható) azonosságot:

$ \log _2 \left( {\log _3 u} \right)<\log _{\frac{1}{2}} \left( {\log _3 u} \right) $

egyenlőtlenségre jutunk. c) Vezessünk be még egy új változót: $v=\log _3 u$, amelyre $v>0-$nak teljesülnie kell. (2) Így az eredeti egyenlőtlenség ekvivalens a következővel:

$ \log _2 v<\log _{\frac{1}{2}} v. $

d) Ezt átalakítva $\log _2 v<-\log _2 v,\mbox{ }$azaz$\mbox{ }2\cdot \log _2 v<0$, azaz $\log _2 v<0$. Ez akkor és csak akkor teljesül, ha

$ 0<v<1, $

ami egyben biztosítja (2) teljesülését is. e) Ez $v$ értelmezése miatt azt jelenti, hogy

$ 0<\log _3 u<1, $

vagyis a 3-as alapú logaritmus függvény szigorúan monoton növekedése miatt

$ 1<u<3, $

ami biztosítja teljesülését is. f) Így csupán a következő egyenlőtlenségrendszer megoldása van hátra (figyelembe véve $u$ jelentését):

$ 1<\frac{x-1}{x+1}<3. $

Az $ 1<\frac{x-1}{x+1}$ megoldása $x<-1$. (4) Az $\frac{x-1}{x+1}<3$ megoldása $\left\{ {x>-\left. 1 \right\} \cup \left\{ {x<-\left. 2 \right\} } \right.} \right.$. (5) (4) és (5) közös megoldása, azaz az eredeti egyenlőtlenség megoldása

$ x<-2, $

és ez minden feltételt teljesít ($x\ne 1,\mbox{ }x\ne -1,\mbox{ }u>0,\mbox{ }v>0)$. Megjegyzések. 1. Az 1. megoldás rövidíthető, ha (2)-nél kihasználjuk, hogy

$ \log _{\frac{1}{3}} \frac{x+1}{x-1}=\log _3 \frac{x-1}{x+1}. $

Így csak az

$ \frac{x-1}{x+1}>1 $

egyenlőtlenség megoldásával kell foglalkozni. 2. A megoldás során felhasználható az

$ \log _a b=\log _{a^x} b^x $

(megfelelő feltételek mellett) könnyen igazolható azonosság. Ez alapján egyrészt

$ \log _{\frac{1}{3}} \frac{x+1}{x-1}=\log _{\left( {\frac{1}{3}} \right)^{-1}} \left( {\frac{x+1}{x-1}} \right)^{-1}=\log _3 \frac{x-1}{x+1}; $

másrészt

$ \log _{\frac{1}{2}} \left( {\log _{\frac{1}{3}} \frac{x+1}{x-1}} \right)=\log _{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{-1}} \left( {\log _3 \frac{x-1}{x+1}} \right)^{-1}=\log _2 \frac{1}{\log _3 \frac{x-1}{x+1}}. $

3. Ha $a>1$ és $b>1$, akkor az

$ \log _a \left( {\log _b \frac{x-1}{x+1}} \right)<\log _{\frac{1}{a}} \left( {\log _{\frac{1}{b}} \frac{x+1}{x-1}} \right) $

egyenlőtlenség megoldása

$ x<\frac{1+b}{1-b}<-1. $

Ugyancsak végiggondolható az általánosabb feladat

$ \begin{array}{l} 0<a<1,\mbox{ }b>1; \\ \mbox{ }a>1,\mbox{ }0<b<1; \\ 0<a<1,\mbox{ }0<b<1 \\ \end{array} $

esetekben is.