Vegyes feladatok: VF_000037
(Feladat azonosítója: VF_000037 )
Témakör: *Algebra (szöveges egyenlet)

Négy egész szám összege 36. Egy bizonyos $n$ egész számot hozzáadva az első számhoz; $n$-et kivonva a második számból; $n$-nel szorozva a harmadik számot és $n$-nel osztva a negyediket, egyenlő eredményre jutunk. Melyik ez a négy szám, és mekkora $n$?

A négy számot x, y, z, u-val jelölve feltétel szerint

x + y + z + u = 36 (1)

x + n = y - n = z $\cdot $ n = $\frac{u}{n}. (2)$

Célszerű (2)-ből azzal a két ismeretlennel fejezni ki a többit, amelyikkel ez csupán összeadás, kivonás és szorzás segítségével sikerül; ez a $z$ és $n$ lesz, melyek szorzata szerepel (2)-ben: x = zn - n, y = zn+n, u = zn$^{2}$, és (1) bal oldalában beírva e kifejezéseket, a

2 zn + $z$ + zn$^{2}=z(n $+ 1)$^{2}$ = 36

egyenletet kapjuk. Innen ($n + 1)^{2}$ csak 1, 4, 9 vagy 36 lehet. Az ismeretlenek lehetséges értékeit az alábbi táblázatban tüntettük fel (tekintetve véve, hogy az $n = $ 0 értéket ki kell zárnunk). \begin{table}[htbp]

\begin{tabular}{|p{49pt}|l|p{36pt}|p{36pt}|p{36pt}|p{36pt}|p{36pt}|p{36pt}|} \hline ($n + 1)^{2}$& 1& \multicolumn{2}{|p{73pt}|}{4} & \multicolumn{2}{|p{73pt}|}{9} & \multicolumn{2}{|p{73pt}|}{36} \\ \hline $n ...$& -2& 1& -3& 2& -4& 5& -7 \\ \hline $z ...$& 36& 9& 9& 4& 4& 1& 1 \\ \hline $x ...$& -70& 8& -24& 6& -12& 0& 0 \\ \hline $y ...$& -74& 10& -30& 10& -20& 10& -14 \\ \hline $u ...$& 144& 9& 81& 16& 64& 25& 49 \\ \hline \end{tabular}

\end{table} Megjegyzés: Ha más két ismeretlennel fejezzük ki a többit, akkor is egész hasonlóan történhet a megoldás, csak nehezebbé válhat a szorzattá alakítás lehetőségének megtalálása. Emellett külön kell diszkutálni nevezőbe kerülő kifejezések eltűnésének az esetét is.