Egy $a$ oldalú négyzet két szomszédos oldalát 6, ill. 10 egyenlő részre osztjuk, majd összekötjük a közös csúcstól $\frac{a}{6}$ távolságban levő első osztáspontot a szomszédos oldalnak a közös csúcstól számított negyedik osztáspontjával. Bizonyítsuk be, hogy az így nyert összekötő egyenes érinti a négyzetbe írható kört.

Válasszuk a négyzet oldalának felét mértékegységül. Legyenek a négyzet $A$ csúcsából induló oldalakon a beírt kör érintési pontjai $U$, $V$, a kör középpontja $K$, az AU szakaszon AB = $\frac{1}{3}$, az AV-n AC = $\frac{4}{5}$ (1. ábra). Azt kell megmutatni, hogy BC távolsága $K$-tól 1, amit úgy is fogalmazhatunk, hogy a BCK háromszög $K$-ból húzott KT = m magassága egységnyi. Ezt a magasságot a háromszög területének meghatározásán keresztül számíthatjuk ki könnyen. Az ABC, BKU, CKV háromszögek területei rendre:

és így a BCK háromszög $t$ területére

Pythagoras tételével kiszámítva a BC oldalt $BC^2=\left( {\frac{1}{3}} \right)^2+\left( {\frac{4}{5}} \right)^2=\frac{25+144}{9\cdot 25}=\left( {\frac{13}{15}} \right)^2,$ azaz $BC=\frac{13}{15}$.

Így

És ez volt a bizonyítandó.

2. Megoldás

Az előző megoldás jelöléseit használjuk. Legyen KV és BC metszéspontja $D$ (1. ábra). Kiszámíthatjuk KT-t hasonló háromszögekből is. Az ABC és TDK háromszögek hasonlók, így

BC-re, mint az előző megoldásban, Pythagoras tétele segítségével 13/15 adódik. Mivel az ABC és VDC háromszögek is hasonlók, azért $\frac{VD}{VC}=\frac{AB}{AC},$ amiből $VD=\frac{AB}{AC}\cdot VC=\frac{1}{3}\cdot \frac{5}{4}\cdot \frac{1}{5}=\frac{1}{12}$, és így -ből

Ezzel az állításunkat igazoltuk.

3. Megoldás

Jelöljük a négyzet oldalát $a$-val, egyébként használjuk az előbbi jelöléseket. A feladatnál általánosabban számítsuk ki, hogy az Au egyenes egy $A$-tól $x$ távolságban levő $B$ pontjából a négyzetbe írt körhöz húzott érintő mekkora $y$ szakaszt metsz le az AV egyenesből (1. ábra). Az érintkezés folytán

Így Pythagoras tétele szerint

azaz $a^{2}$ - 2ax - 2ay + 2xy = 0. Innen $y$ egyértelműen meghatározható $x$-hez. Az ilyen $y$ távolságban metsző egyenes lehet csak a kör érintője. Mivel pedig $B$-ből (BU-n kívül) pontosan egy érintő húzható a körhöz, így ez szükségképpen az AV-t AC = y távolságban metsző egyenes lesz. A nyert egyenlet mindkét oldalához $a^{2}$-et hozzáadva, a következő áttekinthetőbb alakra jutunk:

Ez tehát a szükséges és elégséges feltétele annak, hogy az $a$ oldalú négyzet egyik csúcsából induló oldalakat e csúcstól $x$ és $y$ távolságban metsző egyenes érintse a négyzetbe írt kört. Ez $x=\frac{a}{b}$ esetben éppen $y=\frac{2a}{5}=\frac{4a}{10}$-et ad, amivel a feladat állítását igazoltuk. Megjegyzés: Az ábránk ugyancsak pozitív, $\frac{a}{2}$-nél kisebb $x$, $y$ értékekre vonatkozik, de könnyen belátható, hogy tetszés szerinti pozitív vagy negatív értékekre is ugyanez a szükséges és elégséges kritérium adódik, ha az AU-val, illetőleg AV-vel ellentétes irányú szakaszokat tekintjük negatívnak.

4. Megoldás

Mérjük rá egy ABCD négyzet minden csúcsából az egyik oldalra egy irányban körülhaladva az oldal hatodrészét, majd ellenkező irányban körüljárva az oldal 2/5 részét. Az az egy-egy csúcshoz közelebb eső osztópontokat összekötjük, egy újabb, az előbbivel közös középpontú $A'B'C'D'$ négyzetet kapunk. Ha megmutatjuk, hogy a két négyzet egybevágó, akkor a beírt körük közös, s így igazolást nyer a feladat állítása.

Az egybevágósághoz elég megmutatni, hogy a négyzetek egymásból egybevágó derékszögű háromszögeket metszenek le. Mivel e háromszögek hasonlósága nyilvánvaló, elég egy oldalpárjukról, pl. az átfogókról megmutatni, hogy egyenlők. Jelöljük a négyzet oldalát $a$-val. Az $A$ csúcsú derékszögű háromszög átfogójára Pythagoras tételével adódik

Viszont az $A'$ csúcsú háromszög átfogója

Ezzel feladatunk állítása igazolást nyert. Megjegyzés: Ha általában AP = x, AQ = BR = y, akkor a fenti megoldás azt adja, hogy a két négyzet akkor és csak akkor egybevágó, ha $x^{2}+y^{2}$ = (a - x - y)$^{2}$, és ez megegyezik az előző megoldásban nyert egyenlőséggel. Így az ott levezetett kritériumnak egy kevesebb számolást igénylő származtatásához jutunk.