Vegyes feladatok: VF_000042
(Feladat azonosítója: VF_000042 )
Témakör: *Számelmélet (oszthatóság)

Bizonyítsuk be, hogy

$ 9^{n+2} + 10^{2n+1}$

osztható 91-gyel, ha $n$ tetszés szerinti nem negatív egész szám.

Az állítást teljes indukcióval igazolhatjuk. $n$ = 0-ra a

9$^{2}$ + 10 = 91

számot kapjuk. Ha valamilyen $n=k$ értékre már tudjuk, hogy

9$^{k+2}$ + 10$^{2k+1}$ = 91 $\cdot \quad A$,

akkor $n = k$ + 1-re

9$^{(k+1)+2 }$+ 10$^{2(k+1)+1}$ = 9 $\cdot $ 9$^{k+2 }$+ 10$^{2k+3}$ = 9 $\cdot $ 91 $A$ - 9 $\cdot $ 10$^{2k+1}$ + 10$^{2k+3}$ =

91 $\cdot $ 9 $A$ + 10$^{2k+1}$ (10$^{2}$ - 9) = 91 $\cdot $ (9 $A$ + 10$^{2k+1})$,

tehát az állítás $n = k$ + 1-re is igaz. Ezzel igazoltuk az állítás helyességét minden nem negatív egész $n$-re.

2. Megoldás

A vizsgálandó kifejezést átalakítjuk:

9$^{n+2}$ + 10$^{2n+1}$ = 81 $\cdot $ 9$^{n}$ + 10 $\cdot $ 100$^{n }$ = 91 $\cdot $ 9$^{n}$ + 10(100$^{n}$ - 9$^{n})$.

Az első tag osztható 91-gyel, a második tagban zárójelben szereplő különbség osztható az alapok különbségével, azaz 100 - 9 = 91-gyel. Így az összeg is osztható 91-gyel. Megjegyzés: Sok más hasonló átalakítás is elvezet az állítás igazolásához.