Vegyes feladatok: VF_000043
(Feladat azonosítója: VF_000043 )
Témakör: *Algebra (egyenletrendszer)

Oldjuk meg a következő egyenletrendszert:

$x + y + z = 12\qquad (1)$

$x^{2}+ y^{2} + z^{2}= 230\qquad (2)$

$xy = -15.\qquad (3)$

Küszöböljük ki (1) segítségével (2)-ből $z$-t. Rendezve és 2-vel osztva $x^{2}$ + xy + y$^{2}$ - 12 $x$ - 12 $y =$ 43. $x^{2}$-tel szorozva, és a (3) egyenletet felhasználva az $x^{4}$ - 12 $x^{3}$ - 58 $x^{2}$ + 180 $x$ + 225 = 0 (4) egyenlethez jutunk. Ennek az első két tagja megegyezik az $x^{2}$ - 6$x$ kifejezés négyzetének első két tagjával, utolsó két tagja pedig a 6$x$ + 15 (vagy -6$x$ - 15) négyzetének utolsó két tagjával. Mind a négy tag előfordul tehát az $x^{2}$ - 6$x$ - 15 polinom négyzetében. Az egyenlet bal oldala tehát így alakítható át:

($x^{2}$ - 6$x$ - 15)$^{2}$ - 64 $x^{2}$ = ($x^{2}$ - 14 $x$ - 15)($x^{2}$ + 2$x$ - 15).

$x$-re tehát 4 értéket kapunk: az $x^{2}$ - 14 $x$ - 15 = 0 és az $x^{2}$ + 2$x$ - 15 = 0 egyenletek gyökeit: $x$ = 15, -1; 3, -5. Minden $x$-hez $y$-t a (3) és $z$-t az (1) egyenletből egyértelműen meghatározhatjuk. A lehetséges megoldások

	I.	II.	III.	IV.
X	15	-1	3	-5
y	-1	15	-5	3
z	-2	-2	14	14

Ezek könnyen láthatólag (2)-t kielégítik.

Megjegyzés: Próbálgatással hamar rátalálunk a (4) egyenletnek a -1 gyökére. Másrészt x és y szimmetrikus szerepe miatt ugyanennek az egyenletnek tesznek eleget y gyökei is. Kell tehát, hogy a -1 -hez (3)-ból adódó y = 15 érték is gyöke legyen az egyenletnek, ami így is van. Ennek alapján is eljuthatunk az egyenletnek a fenti megoldásban használt felbontásához.

2. Megoldás

Az (1) egyenlet négyzetéből levonva a (2)-t, és (3) kétszeresét, majd 2-vel osztva az

($x + y) \quad z$ = -28 (5)

egyenlethez jutunk. A $z$ és $x + y=u$ ismeretlenekre tehát az

u + z = 12 (5')

uz = -28 (1')

egyenletek állnak fenn. Így $z$ és $u$ a $v^{2}$ - 12 $v$ - 28 = 0 egyenlet két gyöke, bármilyen sorrendben. Mivel $v_{1}$ = 14 és $v_{2}$ = -2, azért $x$ és $y$ az $x + y = $ 14, xy = -15 vagy $x + y =$ -2, xy = 15 egyenletrendszerek tesznek eleget. Ezek a fentebb már szerepelt $t^{2}$ - 14 $t$ - 15 = 0, ill. $t^{2}$ + 2$t$ - 15 = 0 egyenletekre vezetnek (ott $t$ helyett $x$-szel jelöltük az ismeretlent), s így az előbbi megoldásban talált gyökökhöz jutunk. Ezek kielégítik az (1), (3), (5) egyenleteket. Mivel azonban ezekből (2) következik [ha (1) négyzetéből levonjuk (3) és (5) kétszeresét], azért kielégítik az eredetileg adott egyenletrendszert is.