Bizonyítsuk be, hogy bármely öt egymás után következőegész szám négyzetének összege osztható 5-tel, de 25-tel nem osztható!

A szimmetria érdekében jelöljük az öt egymás után következ\~{o} egész szám közül a középs\~{o}t $a$-val, ekkor a feladat annak igazolása, hogy az

szám osztható 5-tel, de 25-tel nem osztható. $a$ és azért $a^{2}$+2 is egész és $S$ els\~{o} tényez\~{o}je 5, ezért $S$ osztható 5-tel. S akkor és csak akkor lenne 25-tel is osztható, ha a második tényez\~{o}je is osztható volna 5-tel. Evégett $a^{2}$+2-nek vagy 0-ra, vagy 5-re kellene végz\~{o}dnie, tehát $a^{2}$ végz\~{o}dése 8, vagy 3 lenne. Négyzetszám azonban sem 8-ra, sem 3-ra nem végz\~{o}dhet, ezért $a^{2}$+2 sem végz\~{o}dhet 0-ra, vagy 5-re, tehát 5-tel nem lehet osztható $a$ semmilyen egész értéke mellett sem, és így $S$ nem osztható 25-tel. Megjegyzés: Elkerülhetjük a négyzetszámok lehetséges végz\~{o}déseire történ\~{o} hivatkozást, ha megvizsgáljuk az $a^{2}$+2 kifejezés 5-tel való oszthatóságát minden 5-tel való oszthatóság szempontjából különböz\~{o} $a$ mellett. Ezek a következ\~{o}k: $a=5b$ (ahol b egész szám), ekkor $a^2+2=25b^2+2$, és ez 5-tel osztva 2-t ad maradékul; $a=5b\pm 1$ esetén $a^2+2=25b^2\pm 10b+3$, ez 5-tel osztva 3-at ad maradékul; $a=5b\pm 2$ esetén $a^2+2=25b^2\pm 20b+6$, ez 5-tel osztva 1-et ad maradékul. Végig vizsgáltunk minden lehetséges esetet, és azt találtuk, hogy $a^{2}$+2 egyik esetben sem osztható 5-tel.