Vegyes feladatok: VF_000057
(Feladat azonosítója: VF_000057 )
Témakör: *Algebra (egyenlet)

Oldjuk meg az

$ x\left( {x+2} \right)\left( {x+3} \right)\left( {x+5} \right)+8=0 $

egyenletet!

Észrevehetjük, hogy a szorzat első és negyedik tényezőjének számtani közepe egyenlő a második és harmadik tényező számtani közepével, $x+\frac{5}{2}$-del. Tekintsük ezt új ismeretlennek, legyen tehát $x+\frac{5}{2}=z\quad ,$ azaz $x=z-\frac{5}{2}$, (2) így a

$ \left( {z-\frac{5}{2}} \right)\left( {z-\frac{1}{2}} \right)\left( {z+\frac{1}{2}} \right)\left( {z+\frac{5}{2}} \right)+8=\left( {z^2-\frac{25}{4}} \right)\left( {z^2-\frac{1}{4}} \right)+8=0 $

azaz

$ z^4-\frac{13}{2}z^2+\frac{153}{16}=0 $

egyenletre jutunk. Kiszámítva a gyököket, majd (2) szerint az ezekhez tartozó értékeket:

$ z_1 =\frac{\sqrt {17} }{2}, \quad x_1 =\frac{\sqrt {17} -5}{2}, $

$ z^2=\frac{13}{4}\pm 1, \quad z_2 =-\frac{\sqrt {17} }{2}, \quad x_2 =\frac{-\sqrt {17} -5}{2}, $

$ z_3 =\frac{3}{2}, \quad x_3 =-1, $

$ z_4 =-\frac{3}{2}, \quad x_4 =-4, $

az egyenletet megoldottuk. Látjuk, hogy mind a négy gyök valós.

2. Megoldás

Vegyük észre, hogy az egyenlet első tagjában az első és negyedik tényező szorzata a második és harmadik tényező szorzatától csak állandóban különbözik. Egyenletünk tehát ilyen alakúra hozható:

$ \left( {x^2+5x} \right)\left( {x^2+5x+6} \right)+8=0. $

Vegyük új ismeretlennek az új első tényezőt:

$ x^2+5x=w, $

így a

$ w\left( {w+6} \right)+8=0 $

egyenletre jutunk, melynek gyökei:

$ w_1 =-2, \quad w_2 =-4. $

Ezeket rendre -ba helyettesítve nyerjük, hogy a $w_1 $-hez tartozó két $x$ gyök éppen az 1.~megoldás során nyert $x_1 $ és $x_2 $, míg a $w$-hez tartozó két gyök a fenti $x_3 $ és $x_4 $-gyel egyezik meg.