Legyen $n$ tetszőleges természetes szám! Bizonyítsuk be, hogy a $ 10^n-1$ szám 37-tel osztva négyzetszámot ad maradékul!

Mivel $ 10^n-1=9\cdot 10^{n-1}+9\cdot 10^{n-2}+9\cdot 10^{n-3}+...+9\cdot 10^2+9\cdot 10+9$ és $ 9^3\cdot 37=999$, ezért a $ 10^n-1$ alakú, csupa 9-es számjegyből álló számot a legnagyobb helyi értéknél kezdve osszuk hármas csoportokba, és írjuk fel az alábbi módon.

ahol $r_n =0$, 9, vagy 99 attól függően, hogy $n$ 3-mal osztva 0, 1, vagy 2 maradékot ad. A $ 999\cdot 10^{n-3k}$ alakú tagok mindegyike osztható 37-tel, így a $ 10^n-1$ szám 37-tel való osztási maradéka azonos az $r_{n}$ maradékával, ami 0, 9 vagy 25, tehát négyzetszám.