Legyenek $p$ és $q$ olyan pozitív egészek, amelyekre fennáll, hogy
$ \frac{p}{q}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...-\frac{1}{1318}+\frac{1}{1319}. $
Bizonyítsuk be, hogy $p$ osztható 1979-cel.
Végezzük el a megadott összegre a következő átalakításokat:
$ \begin{array}{l} \frac{p}{q}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...-\frac{1}{1318}+\frac{1}{1319}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{1319}- \\ -2\left( {\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+...+\frac{1}{1318}} \right)=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{1319}- \\ -\left( {1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{659}} \right)=\frac{1}{660}+\frac{1}{661}+...+\frac{1}{1319}= \\ =\left( {\frac{1}{660}+\frac{1}{1319}} \right)+\left( {\frac{1}{661}+\frac{1}{1318}} \right)+...+\left( {\frac{1}{989}+\frac{1}{990}} \right)= \\ =1979\left( {\frac{1}{660\cdot 1319}+\frac{1}{661\cdot 1318}+...+\frac{1}{989\cdot 990}} \right) \\ \end{array} $
A zárójelben levő kifejezés közös nevezőre hozás után $a b$ alakú, ahol $a$ pozitív egész, $b=660\cdot 661\cdot ...\cdot 1319$. Mivel 1979 prímszám és $b$ minden tényezője kisebb 1979-nél, $b$ és 1979 relatív prímek. A $p q={1979a} b}} \right. } b$-ből $pb=1979aq$ következik, ezért 1979 kell, hogy osztója legyen $p$-nek. Megjegyzés: A feladat minden további nélkül általánosítható a $ 3k+2$ alakú prímszámokra: ha
$ \frac{p}{q}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-...-\frac{1}{2k}+\frac{1}{2k+1}, $
akkor $p$ osztható $ 3k+2$-vel.