Hányféleképpen lehet egy pengőt aprópénzre felváltani? (Aprópénz az 1 ,2 ,10 ,20 és 50 filléres)

A feladat megoldása elvi problémát nem okoz; hiszen csak fel kell bontani az összes lehetséges felváltásokat és megszámolni azokat. Igyekszünk azonban úgy csoportosítani a lehetséges felváltásokat ,hogy ezt az összeszámlálást megkönnyítsük. Aszerint csoportosítunk, hogy hány fillért váltunk 1 és 2 filléresekre. Ha mind a 100 fillért 1 és 2 filléresekre váltjuk ,akkor e felváltásokban 0,1,2,3,...,49 vagy 50 darab 2 filléres szerepelhet , és a maradékot 1 filléresre váltjuk Az ilyen felváltások száma ... \begin{flushright} 51 \end{flushright} Ha 90 fillért váltunk 1és 2 filléresekre, ezt hasonlóan 46-féleképpen tehetjük a hiányzó 10 fillért pedig 1 darab 10 filléresben adhatjuk csak. E felváltások száma tehát ... \begin{flushright} 46 \end{flushright} 80 fillér 41-féleképpen váltható fel 1 és 2 filléresekre. A maradó 20 fillért 2 darab 10 filléresre vagy 1 darab 20 filléresre válthatjuk. Mivel a 80 fillér minden felváltását társíthatjuk \begin{flushright} 36*2= 72 \end{flushright} \begin{flushright} 31*3= 93 \end{flushright} 50 fillért 26-féle modón válthatunk 1 és 2 filléresekre. A maradó 50 fillért adhatjuk 1 darab 50 filléresben vagy háromféleképpen 10 és 20 filléresben. A felváltások száma tehát ... \begin{flushright} 26*4=104 \end{flushright} Hasonlóan, ha 40, 30, 20, 10 vagy semmit sem váltunk 1 és 2 filléresekre, a lehetséges felváltások száma ... \begin{flushright} 21*5=105 \end{flushright} \begin{flushright} 16*6= 96 \end{flushright} \begin{flushright} 11*7= 77 \end{flushright} \begin{flushright} 6*8= 48 \end{flushright} \begin{flushright} 10= 10 \end{flushright} \begin{flushright} {\_}{\_}{\_}{\_}{\_}{\_}{\_}{\_} \end{flushright} Az összes felváltások száma tehát ... 784