Bizonyítsuk be, hogy az
$ 1-\left( {{\begin{array}{*{20}c} n \hfill \\ 1 \hfill \\ \end{array} }} \right)x+\left( {{\begin{array}{*{20}c} n \hfill \\ 2 \hfill \\ \end{array} }} \right)x^2-\left( {{\begin{array}{*{20}c} n \hfill \\ 3 \hfill \\ \end{array} }} \right)x^3+...+(-1)^k\left( {{\begin{array}{*{20}c} n \hfill \\ k \hfill \\ \end{array} }} \right)x^k $
$k$-adfokú függvény pozitív értékű, ha
$ 0\le x<\frac{1}{n}. $
Itt $k$ az $n$-nél nem nagyobb pozitív egész számot jelent,
$ \left( {{\begin{array}{*{20}c} n \hfill \\ 1 \hfill \\ \end{array} }} \right),\left( {{\begin{array}{*{20}c} n \hfill \\ 2 \hfill \\ \end{array} }} \right),...,\left( {{\begin{array}{*{20}c} n \hfill \\ k \hfill \\ \end{array} }} \right) $
pedig a binomiális együtthatók$^{\ast }$"> Ezek a következőképpen vannak értelmezve:\par $\left( {{\begin{array}{*{20}c} n \hfill \\ l \hfill \\ \end{array} }} \right)=\frac{n(n-1)(n-2)...(n-l+1)}{1\ast 2\ast 3\ast ...\ast l}$ (l = 1,2,...,n)\par Célszerű továbbá bevezetni az $\left( {{\begin{array}{*{20}c} n \hfill \\ 0 \hfill \\ \end{array} }} \right)=1$ jelölést} ismert jelölései.
A tagokat, a kifejezés elején kezdve, párokba foglaljuk. Ha egy tag a végén pár nélkül marad, akkor ez páros fokú tag, s így $x$ minden értékére pozitív. Vizsgáljuk a keletkezett különbségeket:
$ \left( {{\begin{array}{*{20}c} n \hfill \\ l \hfill \\ \end{array} }} \right)x^l-\left( {{\begin{array}{*{20}c} n \hfill \\ {l+1} \hfill \\ \end{array} }} \right)x^{l+1}=\left( {1-\frac{n-l}{l+1}x} \right)\left( {{\begin{array}{*{20}c} n \hfill \\ l \hfill \\ \end{array} }} \right)x^l=\frac{l(1+x)+(1-nx)}{l+1}\left( {{\begin{array}{*{20}c} n \hfill \\ l \hfill \\ \end{array} }} \right)x^l $
Ez a kifejezés pedig $ 0\le l\le n-1$ és $ 0\le x<\frac{1}{n}$ mellett mindig pozitív.