Vegyes feladatok: VF_000140
(Feladat azonosítója: VF_000140 )
Témakör: *SZámelmélet (oszthatóság)

Bizonyítsuk be, hogy minden $n$ természetes számra $ 5^{2n+1}\cdot 2^{n+2}+3^{n+2}\cdot 2^{2n+1}$ osztható 38-cal!

$ 5^{2n+1}\cdot 2^{n+2}+3^{n+2}\cdot 2^{2n+1}=20\cdot 5^{2n}\cdot 2^n+18\cdot 3^n\cdot 2^{2n}=19\left( {50^n+12^n} \right)+50^n-12^n; \quad 50^n+12^n$ páros, így $ 19\left( {50^n+12^n} \right)$ osztható 38-cal, és az $a^n-b^n=\left( {a-b} \right)\left( {a^{n-1}+a^{n-2}\cdot b+...+b^{n-1}} \right)$ azonosság alapján $ 50^n-12^n$is osztható $ 50-12=38$-cal.

2. Megoldás

Az állítást teljes indukcióval bizonyítjuk. $n=0$-ra $ 5\cdot 2^2+3^2\cdot 2=38$ osztható 38-cal. Tegyük fel, hogy $n$-re már beláttuk az állítást.

$ 5^{2n+3}\cdot 2^{n+3}+3^{n+3}\cdot 2^{2n+3}=50\cdot 5^{2n+1}\cdot 2^{n+2}+12\cdot 3^{n+2}\cdot 2^{2n+1}= $

$ =38\cdot 5^{2n+1}\cdot 2^{n+2}+12\cdot \left( {5^{2n+1}\cdot 2^{n+2}+3^{n+2}\cdot 2^{2n+1}} \right), $

és itt a második tag az indukciós feltevés miatt osztható 38-cal.

3. Megoldás

Mivel $n=0$-ra kifejezésünk 38-cal egyenlő, ezért a továbbiakban feltehetjük, hogy $n\ge 1$. Kifejezésünket átalakítva

$ 5^{2n+1}\cdot 2^{n+2}+3^{n+2}\cdot 2^{2n+1}=2^{n-1}\cdot \left( {8\cdot 5^{2n+1}+3^{n+2}\cdot 2^{n+2}} \right)= $

$ =2^{n-1}\left( {40\cdot 5^{2n}+36\cdot 6^n} \right)=2^{n-1}\cdot \left( {38\cdot \left( {5^{2n}+6^n} \right)+2\cdot \left( {25^n-6^n} \right)} \right). $

A zárójelben levő mindkét tag 38-nak többszöröse, mivel az I. megoldásban is idézett azonosság miatt $ 25^n-6^n$ osztható $ 25-6=19$-cel, így kétszerese a 38-cal.