Igazoljuk, hogy egy legalább kétjegyű négyzetszám számjegyei nem lehetnek azonosak.

Tegyük fel, van olyan $n(k)$ négyzetszám amelyiknek mindegyik számjegye $k\ne $ 0. Egy négyzetszám utolsó jegye nem lehet 2, 3, 7 és 8. Nem végződhet 55-re illetve 66-ra sem, hiszen az erre végződő számok nem oszthatók 25-tel illetve 4-gyel. Ezért $n\left( k \right)=k\cdot 111...111$ ahol $k=1,4$ vagy 9. Megmutatjuk először, hogy $k\ne $ 1. Tegyük fel, hogy $ 111...111=x^2$. Ekkor $ 111...110=x^2-1=\left( {x+1} \right)\left( {x-1} \right)$ páros szám a bal oldal szerint, és a jobb oldal alapján még 4-gyel is osztható. Egy 4-gyel osztható szám azonban nem végződhet 10-re. Így $n$(1) nem lehet négyzetszám. Mivel $k$ további szóbajövő értékei teljes négyzetek, és $n$(1), beláttuk, nem négyzetszám, ezért $n$(k) sem az. Egy többjegyű négyzetszám jegyei tehát nem lehetnek azonosak.