Egységnyi élű kockákból négyzetes oszlop alakú, felül nyitott, 1 egység falvastagságú dobozt ragasztottunk össze, amelynek alaplapja négyzet. A dobozba pontosan annyi egységkocka fér bele, mint ahány kockából készült a doboz. Hány kockából készítettük a dobozt?

Ha a doboz alaplapja egy $n\times n$-es négyzet, magassága pedig $k$ egységnyi, akkor a következő egyenleteket írhatjuk fel a feladat szövege alapján: $n^2k-\left( {n-2} \right)^2\left( {k-1} \right)=\frac{1}{2}n^2k,$ ahol $n\ge 3$ és $k\ge 2$. Az egyenletet $k$-ra rendezve a

összefüggést kapjuk, ahol $n^2-8n+8\rangle 0$. Mivel $\frac{n^2}{n^2-8n+8}$ egész szám, ezért $n^2$ és $n^2-8n+8$ legnagyobb közös osztója éppen $n^2-8n+8$. Ha viszont $\left. {\left( {n^2-8n+8} \right)} \right|n^2$ és $\left. {\left( {n^2-8n+8} \right)} \right|n^2-8n+8$, akkor $\left. {\left( {n^2-8n+8} \right)} \right|8n-8$. Ekkor pedig $\left. {\left( {n^2-8n+8} \right)} \right|8n^2-8n$ is teljesül, sőt $\left. {\left( {n^2-8n+8} \right)} \right|8n^2$ is igaz. Így a $ 8n^2-\left( {8n^2-8n} \right)=8n$ különbség is osztható $\left( {n^2-8n+8} \right)$-cal. Ezek alapján $\left( {n^2-8n+8} \right)$ osztója $\left( {8n-8} \right)$-nak és $ 8n$-nek is, tehát 8-nak is. $n^2-8n+8$ lehetséges értékei így 1, 2, 4, 8. Megoldandók tehát az $n^2-8n+8=1$, $n^2-8n+8=2$, $n^2-8n+8=4$, $n^2-8n+8=8$ egyenletek a pozitív egész számok körében. Megfelelő megoldást az első és negyedik egyenletből kapunk csak. Az első egyenletből $n=7$, így $k=50$ adódik. Ekkor 1225 kockából készült a doboz. A negyedik egyenlet alapján $n=8$, így $k=9$, azaz ebben az esetben 288 kockából áll a doboz.