Hány olyan ötjegyű szám van, amelyben van ismétlődő számjegy (mint pl. a 73443 vagy a 21256 stb)?

Azoknak az ötjegyű számoknak a számát, amelyekben van ismétlődés úgy számoljuk ki, hogy az összes ötjegyű számok számából kivonjuk az ismétlődés nélküli ötjegyű számok számát. Az összes ötjegyű számok száma $ 9\cdot 10^4=90000$, hiszen a legnagyobb helyiértéken az 1, 2, ..., 9 számjegyek, az összes többi helyiértékeken pedig a 0, 1, 2, ..., 9 számjegyek mindegyike --- egymástól függetlenül --- előfordulhat. Másként: az ötjegyű számok száma egyenlő a legfeljebb ötjegyűek száma mínusz a legfeljebb négyjegyűek száma, azaz

Az ismétlődés nélküli ötjegyű számok száma $ 9\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6=27216$, hiszen a legnagyobb helyiértéken az 1, 2, ..., 9 számok bármelyike állhat, az első számjegy tetszőleges kiválasztása esetén, a másodikra a 0, 1, ..., 9 számjegyekből 9 lehetőségünk marad; a harmadikra az első kettő bármely választása esetén már csak 8, a negyedikre 7, végül az ötödikre csak 6. Azoknak az ötjegyű számoknak a száma, amelyekben van ismétlődés:

Megjegyzés. Általánosítsuk a feladatot! --- Hány olyan $n$-jegyű szám van, amelyben van ismétlődés, ha $n\ge 2$?

Megoldás. Nyilvánvaló, hogy $n>10$ esetén van ismétlődés minden $n$-jegyű szám esetén. Ha $n\le 10$, akkor az összes (ismétlődést is tartalmazó) számok száma $ 9\cdot 10^{\mbox{n-1}}$. Az ismétlődést nem tartalmazó $\left( {n\le 10} \right)$ számok száma pedig: $ 9\cdot 9\cdot 8\cdot ...\cdot \left( {11-n} \right)$. Az ismétlődő számjegyeket nem tartalmazó $n$-jegyű számok száma tehát:

ahol $n\le 10$.