Oldjuk meg a természeres számok halmazán a következő egyenletet:

$ 5^x+2=7^y $ 

Megoldás

Ha $ x=1 $, akkor $ y=1 $

Feltehetjük, hogy $ x\ge 2 $ és $ y\ge 2 $.

$ 5^x+2=7^y $

$ 5^x-5=7^y-7 $

$ 5\left(5^a-1 \right)= 7\left(7^b-1 \right) $

ahol $ a=x-1 $ és $ b=y-1 $ egész számok

1) A bal oldal osztöja 5, tehát a jobb oldalnak is.

$  5|7^4 -1|7^b-1 $ de $ 25|7^4-1 | 7^b-1$

2) A jobb oldal osztöja 25, tehát a bal oldalnak is.

$  25|5(5^a -1) $

Ez pedig nem lehetséges, ellentmondásra jutottunk. Nincs további megoldás.

A megoldás $ (1,1) $