Vegyes feladatok: VF_000445
(Feladat azonosítója: VF_000445 )
Témakör: *Algebra

Melyek azok a kétjegyű természetes számok (a tízes számrendszerben felírva), amelyekre maga a szám 17-tel nagyobb, mint a számjegyek szorzata?

Jelöljük a számjegyeket $A$-val és $B$-vel, így a követelmény szerint

$ \overline {AB} =10A+B=A\cdot B+17. $

Nullára redukálva $A$-t kiemelhetjük:

$ A\left( {10-B} \right)-\left( {17-B} \right)=0. $

Adjunk 7-et minkét oldalhoz -- a bal oldalon a második zárójelben --, így a $\left( {10-B} \right)$ tényezőt is kiemelhetjük:

$ A\left( {10-B} \right)-\left( {10-B} \right)=7 $

$ \left( {A-1} \right)\left( {10-B} \right)=7 $

A bal oldal mindkét tényezője egész és $ 10-B$pozitív; másrészt a 7 prímszám, tehát csak $ 1\cdot 7$ és $ 7\cdot 1$ alakban bontható pozitív egészek szorzatára, ezért

vagy $A-1=1$ és $ 10-B=7$,

vagy $A-1=7$ és $ 10-B=1$,

azaz

$ A=2, \quad B=3; $

$ A=8, \quad B=9. $

Tehát a kérdéses kétjegyű szám lehet 23 is, 89 is. Valóban

$ 23=2\cdot 3+17, $

$ 89=8\cdot 9+17. $

Megjegyzés: Nem kifogásolható az a megoldás, amely a 90 darab kétjegyű szám számonként összeszorozva, e szorzatok és a számok különbségéből jut el az eredményhez. Mondhatnánk rá, hogy csúnya, unalmas megoldás, de a verseny első fordulójában szereplő feladatok megoldásának pontozása kizárja az esztétikai szempontokat. Más azonban a helyzet a verseny II. fordulójában, Itt már helyezést dönthet el egy feladat elegáns, ötletes vagy éppen ügyetlen, de korrekt megoldása. A fent közölt megoldás azért viszi el a pálmát e megjegyzésben mondott lehetőség elől, mert míg az elsőben csak két esetet kell vizsgálni, addig a másodikban 90 esettel kell bajlódni.