Vegyes feladatok: VF_000543
(Feladat azonosítója: VF_000543 )
Témakör: *Számelmélet

Bizonyítsa be, hogy ha egy legalább kétjegyű négyzetszám utolsó előtti jegye páratlan, akkor az utolsó számjegy 6.

Legyen a szám, amelyet négyzetre emelünk $ 10A+B$ alakú. Ekkor

$ \left( {10A+B} \right)^2=100A^2+20AB+B^2 $

háromtagú összeg első két tagja páros, a tízesek száma csak úgy lehet páratlan, ha $B^2$ páratlan tízest tartalmaz. $B$ helyére bármely egyjegyű szám kerülhet, ekkor

$ B^2\in \left\{ {0,\mbox{ 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81}} \right\}. $

$B^2-$ben a tízes akkor páratlan, ha $B^2=16$ vagy $B^2=36$, ekkor $B=4$ vagy $B=6$. Mind a két esetben a négyzetszámban az egyesek helyén a 6 áll.