Legyen az ABC egyenlő szárú háromszög AC szárának egy pontja $P$! Mérjük fel $B$-ből a PA szakaszt a CD szár $B$-n túli meghosszabbítására, és jelöljük a kapott pontot $Q$-val! Mi a PQ szakaszok felezőpontjainak halmaza, ha $P$ befutja az AC szakaszt?

Legyen PQ és AB metszéspontja $M$. A $Q$ pontot a $B $pontra tükrözve legyen a tükörkép $Q'$, ekkor PA=BQ=BQ'. $PAB\angle ={Q}'BA\angle $ mert az ABC háromszög egyenlőszárú. A párhuzamos szelők tételének megfordítása miatt $AB\parallel P{Q}'\,,\;\quad P{Q}'\parallel MB$, mert $A$, $M $és $B$ pontok egy egyenesre esnek. Q'B=BQ, ezért a PQQ' háromszögnek MB a középvonala, tehát $M$ a PQ szakasz felezési pontja. Ha $P$ pont egybeesik $A$-val, akkor $Q$ egybeesik $B$-vel, így a PQ szakasz felezőpontja egyúttal az AB szakasz $D$ felezési pontja. Ha a $P$ pont egybeesik $C$-vel, akkor BQ=QC, így a PQ szakasz felezőpontja a CQ szakasz $B$ felezőpontja. A DB szakasz összes $M$ pontjához kölcsönösen egyértelműen rendeltünk hozzá pontosan egy $P$ pontot az AC szakaszon, a következő módon: Húzzunk párhuzamost $M$ ponton át AC-vel, a párhuzamos egyenes és BC metszéspontja legyen $E$. Az $M$ pont a PQ felezési pontja, ezért ME a PQC háromszög középvonala. EC távolságot $E $pontból $B$ irányba rámérve a BC egyenesre, megkapjuk a $Q$ pontot. QM egyenes és AC egyenes metszéspontja $P$. Tehát a PQ szakaszok felezési pontjainak halmaza a DB szakasz. Megjegyzés. Jelölje a háromszög szárának hosszát $b$, az alap hosszát $c$, az AP távolságot $a \quad \left( {0\le a\le c} \right)$. ATP és ABC háromszögek hasonlóak, ezért $\frac{a}{b}=\frac{AT}{c}$, tehát $AT=\frac{ac}{b}$. Innen $TF=FB=\frac{c-\frac{ac}{b}}{2}$. Ebből $AF=AT+FT=\frac{c}{b}\cdot \frac{a+b}{2}$.