Milyen tulajdonságú $k$, $m$, $n$, $t$ természetes szám esetén lesz az 1$^{k}$+9$^{m}$+9$^{n}$+7$^{t}$ összeg utolsó számjegye 4?

1$^{k}$ utolsó számjegye mindig 1. 9$^{m}$ és 9$^{n}$ utolsó számjegye lehet 1 vagy 9: 1, ha $m$, illetve $n$ 2$a$ alakú, 9, ha $m$, illetve $n$ 2$a$+1 alakú. 7$^{t}$ utolsó számjegye lehet 1, 7, 9 vagy 3. 1, ha $t$=4$b$ alakú, 7, ha $t$=4$b$+1 alakú, 9, ha $t$=4$b$+2 alakú, 3, ha $t$=4$b$+3 alakú. Az utolsó számjegyek legnagyobb összege 1+9+9+9=28. Így az utolsó számjegyek összege lehet 4; 14; illetve 24. Az utolsó számjegyek összege 4, ha mindegyik hatvány 1-re végződik. Ha az egyik 9-hatvány 9-re végződik, akkor a másik 9 hatvány és 7 hatvány összegének kell 4-re végződnie. 9+1, 9+7, 9+3, 1+1, 1+7, 1+9 nem végződik 4-re. 1+3=4, az összege 4-re végződik. Ezért 4=1+1+1+1: $k$ tetszőleges, $m$=2$a$ alakú, $n$=2$c$ alakú, $t$=4$b$ alakú, és $a$, $b$, $c$, $k$ természetes szám; vagy 14=1+9+1+3: $k$ tetszőleges, $m$=2$a$+1 alakú, $n$=2$c$ alakú, $t$=4$b$+3 alakú, és $a$, $b$, $c$, $k$ természetes szám; vagy 14=1+1+9+3: $k $tetszőleges, $m$=2$a$ alakú, $n$=2$c$+1 alakú, $t$=4$b$+3 alakú, és $a$,$ b$, $c$, $k$ természetes szám.