Megegyezhet-e 1998 darab páratlan egész szám egyikének a négyzete a többi 1998 darab szám négyzetének az összegével?

Nézzük az 1997 páratlan szám négyzetösszegét. Először legyen mindegyik 1. Ekkor a négyzetösszeg 1997. Ha valamelyik 1-est 3-ra változtatjuk, akkor a négyzetösszeg 9-1=8-cal nő. Általánosan, ha valamelyik 1-est egy páratlan számmal lecseréljük, akkor a négyzetösszeg (2$k$+1)$^{2}$-1-gyel nő. (2$k$+1)$^{2}$-=4$k^{2}$+4$k$=4$k(k$+1), ahol $k(k$+1) két egymást követő egész szám szorzata, tehát páros szám, ezért (2$k$+1)$^{2}$-1=8$t$, ahol $t$ természetes szám. Az előzőekből következik, hogy ha a kezdeti négyzetösszeg (1997) bármelyik tagját vagy tagjait felcseréljük egy páratlan számmal, a négyzetösszeg 1997+8$t$ alakú lesz. A feltételek szerint 1997+8$t$=(2$b$+1)$^{2}$

A fentiek szerint 4$b(b$+1)=8$m$, tehát 8(249+$t)$+5=8$m$+1. A bal oldal 8-as maradéka 5, a jobb oldal 8-as maradéka 1. Ezek nem lehetnek egyenlőek, azaz nincs ilyen 1998 darab páratlan szám.

A feladat általánosítása n-re. Az előző gondolatmenetet követve, ha $n$ darab páratlan szám négyzetére vonatkozik az állítás: $n$-1+8$t$=(2$b$+1)$^{2}$, ahol $n$, $t$, $b$ természetes szám, $n$-2+8$t$=4$b(b$+1), $n$-2=4$b(b$+1)-8$t$. A kifejezés jobb oldalának mindkét tagja osztható 8-cal, tehát az egyenlőség akkor teljesül, ha n 8-cal osztva 2-t ad maradékul.