Egy kocka lapjait zöldre festettük, majd a befestett kockát feldaraboltuk egybevágó kiskockákra. Ezek közül pontosan annyinak van két festett (zöld) lapja, mint amennyinek egy zöld lapja. Hány kiskockára daraboltuk fel az eredeti kockát?

A zöldre festett kocka kiskockái közül azoknak, és csak azoknak van két zöld lapja, amelyeknek pontosan egy éle illeszkedik az eredeti kocka valamely élére, és a kis kockák közül pontosan azoknak lesz egy lapja zöld, amelyeknek egyetlen lapja tartozik az eredeti kocka egy lapjának belsejéhez (más szóval nincs éle e kis kockáknak, amely él a nagy kocka valamely éléhez tartozna, de a kis kockának van lapja, amely az eredeti kocka egy lapjára illeszkedik).

Egy kockának 6 lapja és 12 éle van, ha tehát az eredeti kockát ki kockákra darabolva két festett lapú kiskocka annyi van, mint ahány egy festett lapú, úgy az eredeti kocka egy lapjának a belsejéből kétszer annyi festett lapú kis kocka kerül ki, mint ahány az eredeti egy élének a belsejéből.

Ha az eredeti kocka éleit $n$ egyenlő részre vágtuk, és az osztópontokra a kocka lapjaira párhuzamos síkokat fektettünk, úgy a kockát $n^{3}$ egybevágó kis kockára daraboltuk. E darabolás során az eredeti kocka egy élének a belsejéhez $n-2$ darab, míg egy lapjának a belsejéhez $\left( {n-2} \right)^2$ darab kiskocka fog tartozni. A feladat feltétele szerint tehát

Vegyük észre, hogy egyenletünk mindkét oldalán az $\left( {n-2} \right)$-nek többszöröse áll, így mindkét oldalból a jobb oldalon álló $ 2\left( {n-2} \right)$-t kivonva, s a bal oldalon adódó különbségből a közös tényezőt, $\left( {n-2} \right)$-t kiemelve, az

vagyis az

adódik. Ám egy szorzat (ez egyenletünk bal oldala) akkor és csak akkor 0, ha legalább az egyik tényezője 0, így az $n=2$ vagy az $n=4$ kell legyen. Mindkettő megoldása feladatunknak, hiszen ha az eredeti kockát 8 részre vágjuk úgy, hogy a kockaéleket feleztük, akkor egyetlen kiskockának sem lesz pontosan két festett lapja, és ezzel együtt egyetlen olyan kis kockánk sem lesz, amelynek egyetlen festett lapja lenne. (Valamennyi kis kocka három festett lapot mondhat magának.)

Ha a kocka éleit negyedelve, a kockát 64 egybevágó kis kockára szeleteltük, úgy minden élhez 2-2 két festett lapú kis kocka illeszkedik, összesen tehát 24, míg az eredeti kockalapok belsejéhez 4-4 egy festett lapú, összesen tehát ugyancsak 24 kiskocka illeszkedik. Összefoglalva: Két megoldás van, az eredeti kockát 8, vagy 64 egybevágó kis kockára daraboltuk fel.