1. találat: Vegyes feladatok: VF_000005 Témakör: *Algebra (egyenlet, triginimetria) (Azonosító: VF_000005 ) Oldjuk meg az $\dfrac{1-\sin x}{\cos x}=\dfrac{1}{2}$ egyenletet. Témakör: *Algebra (polinom) (Azonosító: VF_000011 ) Az $n$ szám mely pozitív egész értékeire osztható és melyekre nem osztható $ 2^7-2$-vel az $ n^7-n $ kifejezés? Témakör: *Algebra (szöveges egyenlet) (Azonosító: VF_000015 ) Egy üzemben 40 munkás sztahanovista munkamódszerre tér át. Ezáltal az üzem termelése 20%-kal emelkedik. Ha az első sztahanovistákkal együtt a munkásoknak összesen 60%-a tér áat az új munkamódszerre, akkor ezáltal az üzem termelése az eredeti termelésnek két és félszeresére növekszik. Kérdés, hány munkás van az üzemben és hányszorosra emelkedik az üzem termelése, ha valamennyi munkás megtanulja az új munkamódszert? Témakör: *Számelmélet (polinom, oszthatóság) (Azonosító: VF_000017 ) Bizonyítsuk be, hogy bármilyen egész szám is n $ n\left( {n+2} \right)\left( {5n-1} \right)\left( {5n+1} \right) $ mindig osztható 24-gyel. Témakör: *Algebra (számelmélet, oszthatóság) (Azonosító: VF_000020 ) Melyik az a legkisebb 4-gyel végződő természetes szám, melynek utolsó jegyét a szám elé írva, az eredeti szám négyszeresét kapjuk? Témakör: *Algebra (számelmélet) (Azonosító: VF_000022 ) Meghatározandó az x, y, z, u, v számjegyek értéke úgy, hogy a tízes számrendszerben felírt $x$ 61$y$ 064zuv szám osztható legyen 61875-tel. Témakör: *Geometria (szerkesztés) (Azonosító: VF_000025 ) Szerkesszünk derékszögű háromszöget, ha adott az átfogó $c$ és tudjuk azt, hogy az átfogóhoz tartozó súlyvonal mértani középarányos a két befogó között. Témakör: *Számelmélet (szám, soztó) (Azonosító: VF_000027 ) Két szám összege 173717. A két szám 4-jegyű különbségének törzstényezői között nincsen egyjegyű szám. Az egyik szám osztható 1558-cal. Melyik ez a két szám? Témakör: *Algebra (szöveges feladat, mozgás) (Azonosító: VF_000028 ) Két futó $\alpha $ és $\beta $ versenyt futnak egy körpályán. A táv egy kör, rajt és cél a $P$ pontban. Mikor $\alpha $ eléri a táv felét jelentő $Q$ pontot, $\beta $ 16 m-rel van mögötte. Egy későbbi időpontban a két futó helyzete tükrös a PQ átmérőre nézve. $ 1\dfrac{2}{15}$ másodperccel ezen időpont után $\beta $ eléri a $Q$ pontot és további $ 13\dfrac{13}{15}$ másodperc múlva $\alpha $ célba ér. Mekkora a futók sebesség és mekkora a táv? (Feltételezzük, hogy mind a két futó egyenletes sebességgel fut.) Témakör: *Algebra (szöveges egyenlet) (Azonosító: VF_000037 ) Négy egész szám összege 36. Egy bizonyos $n$ egész számot hozzáadva az első számhoz; $n$-et kivonva a második számból; $n$-nel szorozva a harmadik számot és $n$-nel osztva a negyediket, egyenlő eredményre jutunk. Melyik ez a négy szám, és mekkora $n$? Témakör: *Geometria (érintő) (Azonosító: VF_000041 ) Egy $a$ oldalú négyzet két szomszédos oldalát 6, ill. 10 egyenlő részre osztjuk, majd összekötjük a közös csúcstól $\dfrac{a}{6}$ távolságban levő első osztáspontot a szomszédos oldalnak a közös csúcstól számított negyedik osztáspontjával. Bizonyítsuk be, hogy az így nyert összekötő egyenes érinti a négyzetbe írható kört. Témakör: *Algebra (egyenletrendszer) (Azonosító: VF_000043 ) Oldjuk meg a következő egyenletrendszert: $x + y + z = 12\qquad (1)$ $x^{2}+ y^{2} + z^{2}= 230\qquad (2)$ $xy = -15.\qquad (3)$ Témakör: *Algebra (számjegy) (Azonosító: VF_000049 ) Egy hatjegyű négyzetszámot kétjegyű részekre vágva megállapítjuk, hogy az utolsó kétjegyű szám megegyezik a középső kétjegyű számmal, míg az első kétjegyű szám a középső kétjegyű számot 100-ra egészíti ki. Melyik ez a négyzetszám? Témakör: *Algebra (szöveges feladat) (Azonosító: VF_000050 ) Egy turistacsoport $A$-ból $B$-be autóbuszon akar eljutni, azonban csak egy olyan autóbusz áll rendelkezésére, amely egyszerre a társaságnak csak egynegyed részét képes felvenni, és nincs elég idő arra, hogy egymás után szállítsa el őket $A$-tól $B$-ig. Ezért a társaság egyszerre indul el, mégpedig egynegyed része autóbuszon, a többi gyalog. Az autóbusz az első csoportot valahol az út közbeeső pontján teszi le, majd visszafordul, felveszi a társaság második negyedét, de őket sem szállítja végig, hanem visszatér a harmadik csoportért, majd hasonló módon a negyedikért, amelyet végül $B$-ig szállít. A szállítást úgy bonyolítják le, hogy mind a négy csoport egyidejűleg érkezik $B$-be. Feltéve, hogy mind az autóbusz, mind a gyalogosok sebessége állandó, és az autóbusz sebessége a gyalogosok sebességének 7-szerese, a turisták útjuk hányadrészét teszik meg autóbuszon, ill. gyalog? Hányszor annyi időre lett volna szükség az út megtételéhez abban az esetben, ha az autóbusz mind a négy csoportot $A$-tól $B$-ig szállítja? Témakör: *Számelmélet (oszthatóság) (Azonosító: VF_000054 ) Bizonyítsuk be, hogy bármely öt egymás után következőegész szám négyzetének összege osztható 5-tel, de 25-tel nem osztható! Témakör: *Geometria (Azonosító: VF_000055 ) Egy derékszögű háromszög oldalainak mértékszámai egész számok. A háromszög területe mértékszámának kétszerese egyenlő a kerület mértékszámának háromszorosával. Mekkorák a háromszög oldalai? Témakör: *Algebra (egyenlet) (Azonosító: VF_000057 ) Oldjuk meg az $ x\left( {x+2} \right)\left( {x+3} \right)\left( {x+5} \right)+8=0 $ egyenletet! Témakör: *Geometria (hatszög, terület) (Azonosító: VF_000062 ) Bizonyítsuk be, hogy ha két hatszög oldalainak felezőpontjai rendre megegyeznek, akkor a két hatszög területe egyenlő. Témakör: *Algebra (számelmélet) (Azonosító: VF_000088 ) Legyen $n$ tetszőleges természetes szám! Bizonyítsuk be, hogy a $ 10^n-1$ szám 37-tel osztva négyzetszámot ad maradékul! Témakör: *Algebra (egészrész, egyenlet) (Azonosító: VF_000110 ) Oldjuk meg a $ \left[ {\sqrt {x^2+14x+49} -2} \right]=-x-4,5 $ egyenletet ($\left[ a \right]$ jelöli $a$ legnagyobb, $a$-nál nem nagyobb egész számot)! Témakör: *Geometria (mértani hely) (Azonosító: VF_000125 ) Egy $O$ középpontú kör kerületén mozog egy $P$, melynek vetülete a rögzített AB átmérőn $P$'. Az OP sugárra mérjük fel $O$-tól az $OQ=PP'$ szakaszt! Milyen alakzatot alkotnak a $Q$ pontok, ha $P$ végigfut a körön? Témakör: *SZámelmélet (oszthatóság) (Azonosító: VF_000140 ) Bizonyítsuk be, hogy minden $n$ természetes számra $ 5^{2n+1}\cdot 2^{n+2}+3^{n+2}\cdot 2^{2n+1}$ osztható 38-cal! Témakör: *Algebra (egyenlőtlenség) (Azonosító: VF_000146 ) Bizonyítsuk be, hogy minden $x\ge 1 2$ valós számra $ \sqrt {9x+7} <\sqrt x +\sqrt {x+1} +\sqrt {x+2} <\sqrt {9x+9} ! $ Témakör: *Számelmélet (algebra) (Azonosító: VF_000160 ) Igazoljuk, hogy egy legalább kétjegyű négyzetszám számjegyei nem lehetnek azonosak. Témakör: *SZámelmélet (oszthatóságalgebra) (Azonosító: VF_000164 ) Igazoljuk, hogy egy legalább kétjegyű négyzetszám számjegyei nem lehetnek azonosak. Témakör: *Algebra (Azonosító: VF_000177 ) Egységnyi élű kockákból négyzetes oszlop alakú, felül nyitott, 1 egység falvastagságú dobozt ragasztottunk össze, amelynek alaplapja négyzet. A dobozba pontosan annyi egységkocka fér bele, mint ahány kockából készült a doboz. Hány kockából készítettük a dobozt? Témakör: *Geometria (Azonosító: VF_000184 ) Egy adott rombusz oldalait érintő kör sugara $R$. Az $R$ sugarú kört és a rombusz két oldalát érintő kör sugara pedig $r$. Mekkora a rombusz átlói hosszának aránya, ha $r/R=1/4$? Témakör: *Algebra (Azonosító: VF_000189 ) Hány olyan ötjegyű szám van, amelyben van ismétlődő számjegy (mint pl. a 73443 vagy a 21256 stb)? Témakör: *Algebra (Azonosító: VF_000197 ) Az $x$, $y$, $z$ egész számokra teljesül a következő egyenlőség: $ x^2\left( {y+z} \right)+y^2\left( {x+z} \right)+z^2\left( {x+y} \right)+2xyz=1996 $ Mennyi az $x+y+z$ összeg legnagyobb és legkisebb értéke? Témakör: *Kombinatorika (Azonosító: VF_000203 ) Hányféleképpen helyezhető el két azonos színű (egyforma) futó a 8$\times $ 8-as sakktáblán úgy, hogy ne üssék egymást (azaz ne legyenek egy átlós irányú egyenesen)?
|
|||||
|