1. találat: OKTV 20072008 II. kategória 1. forduló 2. feladat Témakör: *Algebra (Azonosító: OKTV_20072008_1k2f2f ) Tekintse $p(x ) = ( 5 x − 2 )\cdot (2 x + 4 ) \cdot ( x − 251 )$ és $q ( x ) = (a − b + c ) \cdot x^3 + ( 3a + b − c )\cdot x^2 + (a + b + c ) \cdot x + d $ a polinomokat! Határozza meg az $ a $ , $ b $ , $ c $ és $ d $ valós számokat úgy, hogy $ p(x ) = q(x ) $ minden valós x -re teljesüljön! Témakör: *Algebra (Azonosító: OKTV_20072008_2k1f5f ) Adott az $ x \mapsto \dfrac{2x+1}{2}-\sqrt{x^2+1} $ függvény, ahol $ x\ge 0 $. a) Monoton nő, vagy csökken a függvény? b) Melyik az a legkisebb pozitív egész $ n $, amelyre $ f(n)<\dfrac{1}{2008} $? Témakör: *Geometria (Azonosító: OKTV_20072008_2k2f1f ) Tekintsük azokat a konvex négyszögeket, amelyek 100 darab egységnyi oldalú szabályos háromszögre darabolhatók. Mekkorák lehetnek a megfelelő négyszögek oldalai? Témakör: *Geometria (Azonosító: OKTV_20072008_2kdf2f ) Az $ ABC $ háromszög $ BC $ oldalának felező pontja $ D $. Az $ ABD $ és $ ADC $ háromszögek köré írt körök középpontjai rendre $ E $ és $ F $ . A $ BE $ és $ CF $ egyenesek metszéspontja $ G $. Tudjuk, hogy $ BC=2DG=2008 $ és $ EF = 1255 $ egység. Mekkora az $ AEF $ háromszög területe? Témakör: *Algebra (Azonosító: OKTV_20082009_1k1f3f ) Ha az $ x $, $ y $ , $ z $ valós számok eleget tesznek az $ x + 3 y + 5 z = 200 $ és az $ x + 4 y + 7 z = 225 $ egyenleteknek, akkor mennyi a $ K = x + y + z $ kifejezés értéke? Témakör: *Algebra (Azonosító: OKTV_20092010_1k1f5f ) Palkó uzsonnára palacsintát készített barátainak. Az asztalon három tálon van palacsinta. Az elsőn 8 darab túrós, 6 darab diós, és 10 darab lekváros van, a másodikon 12 darab túrós, 10 darab diós, és 8 darab lekváros, a harmadikon 8 darab diós, 12 darab lekváros és néhány túrós. a) Palkó egyik barátja, Peti, véletlenszerűen vett mindegyik tálról egy-egy palacsintát. Tudjuk, hogy a Peti által választott három palacsinta 25 3 valószínűséggel volt azonos ízesítésű. Hány túrós palacsinta volt a harmadik tálon? b) A harmadik tálon levő túrós palacsinták számától függően milyen határok közt változhat annak a valószínűsége, hogy Peti három azonos ízesítésű palacsintát vett ki? (Feltesszük, hogy a házigazda csak a harmadik tálon lévő túrós palacsinták számát változtatja.) Témakör: *Algebra (Azonosító: OKTV_20092010_2k1f3f ) Oldjuk meg a következő egyenletet: $ 11^x + 14^x = 25^x- 2 \left( \sqrt{ 154 } \right)^x $
Témakör: *Algebra (Azonosító: OKTV_20102011_1kdf1f ) Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet! $ \dfrac 1 {\sqrt{x}+\sqrt{x+1}} +\dfrac 1 {\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2}}+ \ldots + \dfrac 1 {\sqrt{x+2010}+\sqrt{x+2011}}=1$
Témakör: *Algebra (Azonosító: OKTV_20122013_1kdf1f ) Egy papírlapra felírtuk a pozitív egész számokat n -től 2n -ig. Azt vettük észre, hogy a felírt páros számok összege 2013 -mal nagyobb, mint a felírt páratlan számok összege. Mettől meddig írtuk fel a számokat? Témakör: *Algebra (hatvány, másodfokú) (Azonosító: OKTV_20132014_1k1f1f ) Oldja meg a valós számok halmazán a $ 3 \cdot 25^x-16^x=2 \cdot 20^x $ egyenletet! Témakör: *Algebra (kombinatorika) (Azonosító: OKTV_20132014_1k2f1f ) A 257 olyan háromjegyű szám, amelynek számjegyei különbözőek. Ha a számjegyeket fordított sorrendben leírjuk, akkor az eredetinél nagyobb számot kapunk, a 752-t. Hány ilyen tulajdonságú háromjegyű szám van? Témakör: *Algebra (sorozat, szorzat) (Azonosító: OKTV_20142015_2k1f3f ) Legyen a1=1, a sorozat további elemeit a következő összefüggés határozza meg: $a_{n+1}\cdot a_n=4\left ( a_{n+1}-1 \right )$ Igazoljuk, hogy a sorozat első 2025 darab tagjának szorzata nagyobb, mint 22014. Témakör: *Geometria (algebra) (Azonosító: OKTV_20152016_2k2f3f ) Az ABC szabályos háromszöget behajtjuk úgy, hogy az A csúcs a BC oldal B-hez közelebbi H harmadoló pontjába essen. A hajtási vonalnak az AB illetve az AC oldalakkal vett metszéspontja legyen M illetve N. Határozzuk meg a BHM háromszög és a CNH háromszög területének arányát. Témakör: *Kombinatorika (Azonosító: OKTV_20162017_2k1f5f ) Egy 25 tagú társaság vacsorázni ment. Az öt hölgy, Anna, Borbála, Cecília, Dóra és Erzsébet továbbá a húsz férfi az étteremben egy kör alakú asztalhoz ültek, ahol a helyeket megszámozták körben az 1, 2, ..., 25 számokkal. Hányféleképpen ülhetnek le, hogy a hölgyek közt ne legyen kettő sem szomszédos, sem másodszomszédos? (Azaz bármely két hölgy között legalább két férfi ül.) Témakör: *Számelmélet (Azonosító: OKTV_20172018_1k1f1f ) Határozza meg azt a tízes számrendszerben felírt legkisebb természetes számot, amely 57-ed részére csökken, ha az első számjegyét elhagyjuk. Témakör: *Számelmélet (kombinatorika) (Azonosító: OKTV_20172018_2k1f2f ) A pozitív egészekből álló $d_1,d_2\ldots ,d_k$ sorozatot az n osztóláncának nevezzük, ha $d_1=1$ és $d_k=n$, továbbá a sorozat minden tagja - az utolsó kivételével - osztója a következő tagnak. Például n = 6 esetén három ilyen osztólánc van, ezek az 1,6; 1,2,6; és az 1,3,6. Hány osztólánc van, ha a) n= 1024; b) n=999; c) n=1000? Témakör: *Geometria (Azonosító: OKTV_20172018_3kdf2f ) Legyen $ p\ge1 $ egész szám. Egy egységnyi kerületű körvonalon p darab pontot pirosra színezünk úgy, hogy a kör bármelyik, piros ponton át nem haladó átmérőegyenesének a két oldalán a piros pontok számának az eltérése legfeljebb 100. Bizonyítsuk be, hogy a körvonal bármely pontjának a piros pontoktól mért köri távolságainak az összege legalább (p/4) − 25. (Két pont köri távolságán az őket összekötő két körív közül a rövidebbnek az ívhosszát értjük.) Témakör: *Algebra (Azonosító: OKTV_20192020_1k2f2f ) Számítsa ki a $p$ és $r$ valós paraméterek értékét, ha a $px - 6y = 12$ egyenletű egyenes merőleges az $ 5x + ry = 7$ egyenletű egyenesre, és a két egyenesnek az abszcisszatengellyel való metszéspontjai egységnyi hosszúságú szakaszt határoznak meg. A kapott paraméterek segítségével írja fel az egyenesek egyenletét. Témakör: *Számelmélet (Azonosító: OKTV_20202021_3k1f1f ) Mely $ n\ge 0 $ egészekre lesz $ 625^n+4^{2n+1} prímszám? Témakör: *Algebra (Azonosító: OKTV_20212022_1k1f4f ) Határozza meg a $ p $ valós paraméter értékét, ha tudjuk, hogy a $ p \cdot 10^x + 10^{-x} = 10 $ egyenletnek csak egyetlen valós megoldása van. Témakör: *Algebra (Azonosító: OKTV_20212022_1k2f3f ) Adott az $A = \text{tg } \dfrac{x\cdot \pi}{4}+A \text{tg } \dfrac{y\cdot \pi}{6} $ kifejezés, ahol x és y pozitív egész számok. a) Határozza meg az A kifejezés értelmezési tartományát. b) Amennyiben x és y véletlenszerűen választott, 2022-nél kisebb, különböző pozitív egész számok, akkor adja meg annak valószínűségét, hogy az A kifejezés értelmezhető. Témakör: *Számelmélet (Azonosító: OKTV_20212022_2k1f4f ) Tekintsük az $ 1,2, \ldots, 10 $ számokat valamilyen sorrendben, jelölje őket $ a_1 , a_2, ..., a_{10} $. Legyen $ b_ = a_1,\ b_2 = a_1 + a_2,\ b_3 = a_1 + a_2 + a_3,\ \ldots ,\ b_{10} = a_ + a_2 + ... + a_{10} $ . Hányféle olyan $ a_1 , a_2, ..., a_{10} $ sorrend van, ahol a $ b_1 , b_2, ..., b_{10} $ számok közül egyik sem osztható 3-mal? Témakör: *Kombinatorika (Azonosító: OKTV_20222023_1k1f3f ) Frédi és Béni egy szabályos dobókockával játszik. Frédi dob, Béni pedig Frédi minden dobása után a kocka felső lapján lévő pöttyök mindegyike mellé rajzol még egy-egy pöttyöt. Mekkora a valószínűsége annak, hogy Frédi harmadik dobásának eredménye páratlan? Témakör: *Algebra (Azonosító: OKTV_20222023_1k2f2f ) Határozza meg a $p$ valós paraméter azon értékeit, amelyekre a következő egyenletnek nincs megoldása a valós számok halmazán: $ 500\cdot 25^{x}= 10^{2x+3} \cdot 2^{x^2-p} $ Témakör: *Kombinatorika (Azonosító: OKTV_20232024_2k1f5f ) Egy dobókockát négyszer feldobva mennyi a valószínűsége, hogy
|
|||||
|