Adott ABC háromszög esetén a QRS háromszöget nevezzük az ABC háromszög kölyökháromszögének, ha az igaz, hogy

- QP₁ felezőpontja R,

- RP₂ felezőpontja S,

- SP₃ felezőpontja Q,

ahol a P₁ , P₂ , P₃ pontok valamilyen sorrendben az A, B, C pontok. Igazoljuk, hogy minden ABC háromszögnek két kölyök-háromszöge van, és a két kölyökháromszög metszetének a területe az ABC háromszög területének az 1/10-e.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Az $f : R \rightarrow R$ nem konstans függvényről azt tudjuk, hogy minden valós x esetén

$f (1 - x) + (1 - x)f (x) = c,$

ahol c rögzített egész konstans. Igazoljuk, hogy ha f (x)-nek van egész fixpontja, akkor van két olyan fixpontja is, amely nem egész. (z fixpontja f (x)-nek, ha f (z) = z.)

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy kör alakú asztal körül 20 diák ül. Minden diák előtt van néhány cukorka, kezdetben 2, 4, 6, 8, . . . , 38, 40, valamilyen tetszőleges sorrendben. A diákok - tanáruk vezetésével - a következőt teszik. Egy lépésben minden diák odaadja a tőle jobbra ülő diáknak cukorkái felét, majd ha így páratlan sok cukorkája maradna, akkor a tanártól kap még egyet. Ezt a lépést ismételgetik újra és újra. Bizonyítsuk be, hogy egy idő után minden diáknak ugyanannyi cukorkája lesz.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba