Tetszpleges $ n $ pozitív egész számra jelölje $ f (n) $ az olyan $ 2n $-jegyű számok számát, amelyek meg-
egyeznek az utolsó $ n $ számjegyükből alkotott szám négyzetével. Határozzuk meg az $ f $ függvény
értékkészletét.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

A különböző sugarú $ k_1 $ és $ k_2 $ körök az $ A $ és $ B $ pontokban metszik egymást. A $ k_1 $ kör $ A $ -beli érintője a $ C $ pontban metszi a $ k_2 $ kört, míg a $ k_2 $ kör $ A $-beli érintője a $ D $ pontban metszi a $ k_1 $ kört. Az $ ACD $ háromszög $ A $ csúcsához tartozó belső szögfelezője a $ k_1 $ kört az $ E $ a $ k_2 $ kört az $ F $ pontban metszi. Az $ ACD $ háromszög $ A $ csúcsához tartozó külső szögfelezője a $ k_1 $ kört az $ X $ a $ k_2 $ kört az  $ Y $ pontban metszi. Igazoljuk, hogy az $ XY $ szakasz felező merőlegese érinti a $ BEF $ háromszög körülírt körét.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Kezdő és Második felírják az $ 1; 2; 3; . . . ; 609; 610 $ számokat egymás után egy papírra, majd a következő pasziánsz-játékot játszák:
- Kezdő a saját $ i $-edik lépése során bekarikázza a legkisebb még be nem karikázott számot, majd
- Második a saját $ i $-edik lépése során bekarikázza a Kezdő által utoljára bekarikázott számnál$ i $-vel nagyobb számot.

A játék elején a következő számokat karikázzák be rendre: $ K \rightarrow 1 $;  $ M \rightarrow 2 $; $ K \rightarrow 3 $; $ M \rightarrow 5 $; $ K \rightarrow 4 $; $ M \rightarrow 7 $; $ K \rightarrow 6 $; $ M \rightarrow 10 $; $ K \rightarrow 8 $; $ M \rightarrow 13 $; $ . . . $
A játék akkor ér véget, ha valamelyik játékos már nem tud a szabályok betartásával újabb számot bekarikázni. Amikor a játék véget ér, hány szám lesz bekarikázva?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba